Laplace equation

dirkwb

Gegeven de Laplacevergelijking:

\(\bigtriangledown ^2 u =0 \)

op een 3D gebied R met de warmteflux op de rand gegeven (niet per se constant)

(a) Geef een fysische interpretatie van:

\(\oint \oint \bigtriangledown u \cdot \vec{n}\ dS=0\)

(b) bewijs dit wiskundig.

Heeft het antwoord op (a) te maken met de warmte die geheel over de grenzen wegstroomt?

En moet je (b) met stelling van Green doen?

aadkr

Divergentietheorema van Gauss.

\(\int_{S} \vec{F}(x,y,z) \cdot \vec{n}dS=\int_{V} div \vec{F} dV\)

Met:

\(\vec{F} (x,y,z)=grad\ u=\bigtriangledown u\)

Die fluxintegraal wil gewoon zeggen dat de netto resulterende flux ,die door het oppervlak naar buiten treedt, nul is.

Er gaat dus evenveel flux naar binnen als naar buiten.

TD

Misschien nog ter verduidelijking, de integraal:

\(\int \!\! \int_S \vec F \cdot \vec n \, \mbox{d}O\)

stelt de (netto) flux voor van F door S. Hierin is S een gesloten oppervlak, F een vectorveld, n de uitwendige normaal en dO een elementair oppervlakte-element (cartesische: dO = dxdy bijvoorbeeld).

In jouw geval is F = grad(u), zoals aadkr zei. De divergentie van F geeft de Laplaciaan van u, waarvan gegeven is dat die 0 is. De divergentiestelling zegt dat bovenstaande fluxintegraal gelijk is aan de volumeintegraal (volume ingesloten door S) van de divergentie van het vectorveld. Die is 0, dus integraal 0, dus (netto) flux 0.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Laplace equation

Laplace equation

Re: Laplace equation

Re: Laplace equation