Springen naar inhoud

Oneigenlijke integraal


  • Log in om te kunnen reageren

#1

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 30 oktober 2007 - 13:18

Bepaal:

LaTeX

Ik heb een halve cirkel met straal R>1 in in het bovenvlak van xy vlak gekozen, alleen heb ik moeite met het bepalen van het residu in i.

Hoe bepaal je de (n-1)e afgeleide van de functie vermenigvuldigd met (z-i)n?
Quitters never win and winners never quit.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 oktober 2007 - 14:20

LaTeX

LaTeX

Het is misschien moeilijk om die (n-1)-de afgeleide direct te 'zien'.
Je kan best de eerste drie afgeleides even berekenen, dat geeft:

LaTeX

LaTeX

LaTeX

Als je het eerder ziet, des te beter natuurlijk. Er is telkens een tekenwisseling en het is positief bij even n, dat is een factor (-1)^n. Er komt een product van n(n+1)...(n+(n-2)) = (2n-2)!/(n-1)!. De macht wordt uiteindelijk -n-(n-1) = -2n+1. Er stond al een 1/(n-1)! uit de formule, samen geeft dat:

LaTeX

Ik laat de faculteiten even vallen en vereenvoudig de rest:

LaTeX

Voor de integraal moet je nu nog vermenigvuldigen met 2.pi.i (residustelling), dus:

LaTeX

Tot slot delen door 2, dit geldt voor -inf tot inf en we hebben even functie van 0 tot inf:

LaTeX

Dit resultaat lijkt te kloppen, op het minteken na. Ik heb geen zin er terug helemaal door te gaan, het zoeken van het tekenfoutje laat ik aan jou over ;)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 30 oktober 2007 - 15:57

Als je het eerder ziet, des te beter natuurlijk. Er is telkens een tekenwisseling en het is positief bij even n, dat is een factor (-1)^n. Er komt een product van n(n+1)...(n+(n-2)) = (2n-2)!/(n-1)!.


Hoe kom je aan die formule (2n-2)!/(n-1)! ?


Tot slot delen door 2, dit geldt voor -inf tot inf en we hebben even functie van 0 tot inf:

LaTeX


Ik zie niet waar er door twee gedeeld is: de formule is gelijk aan de vorige regel.
Quitters never win and winners never quit.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 oktober 2007 - 16:03

Domweg copy-paste gedaan, zonder te delen door 2.
In de laatste regel moet dat dus nog gebeuren...

We hebben uiteindelijk een product:
n(n+1)(n+2)...(n+(n-1))(n+(n-2))

Dit kun je verkort schrijven met faculteiten. Als het product links nog de factoren 1.2....(n-2)(n-1) had (en daarna verder n.(n+1)...), dan stond er (n+(n-2))! = (2n-2)! Maar die extra factoren, samen te schrijven als (n-1)!, staan er niet, dus die deel je terug weg.

Algemeen: n(n+1)...(n+k) = (n+k)!/(n-1)!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures