Springen naar inhoud

Continu´teit


  • Log in om te kunnen reageren

#1

mickey_blue_eyes

    mickey_blue_eyes


  • >25 berichten
  • 59 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 01 november 2007 - 13:41

We moeten uitspraken beoordelen of ze waar zijn of niet waar. Ik weet reeds van enkele uitspraken een voorbeeld om aan te tonen dat ze of vals zijn, maar voor volgende twee uitspraken (die volgens mij waar zijn) vind ik geen voorbeeld die de uitspraak illustreert.

A. Niet alle punten van een verzameling A C (deelverzameling) van R (reŰle getallen) hoeven ophopingspunten van A te zijn.

Volgens mij is deze uitspraak waar, maar ik vind geen voorbeeld die deze uitspraak illustreert.

B. Een verzameling A C (deelverzameling) van R (reŰle getallen) kan ophopingspunten hebben in R die niet tot A behoren.

Ook is volgens mij deze uitspraak waar, maar ik vind voorbeeld die deze uitspraak illustreert.

Hopelijk kunnen je me bij deze 2 van de 10 uitspraken helpen en dan is mijn huiswerk volledig af!

Dank je alvast!

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 01 november 2007 - 14:19

Dat heeft volgens mij te maken met het feit of de deelverzameling een open interval is of een gesloten interval.
Bij een open interval zijn alle punten verdichtingspunten van de deelverzameling. Bij een gesloten interval zijn de grenzen van het interval geen verdichtingspunten van het interval, de rest wel.
Neem het open interval <0 , 2 > . Alle punten die tot dit interval behoren ,zijn verdichtingspunten van het interval.
Neem het gesloten interval ( segment) [ 0, 2 ] . Hier zijn alle punten behalve 0 en 2 verdichtingspunten van het gesloten interval .
Vraag:B vind ik vreemd. Mijn antwoord zou zijn : Nee . Maar als ze bedoelen ( ""kan een Supremum hebben in R..."") ,dan is het antwoord: Ja

Veranderd door aadkr, 01 november 2007 - 14:22


#3

mickey_blue_eyes

    mickey_blue_eyes


  • >25 berichten
  • 59 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 november 2007 - 10:05

Vraag:B vind ik vreemd. Mijn antwoord zou zijn : Nee . Maar als ze bedoelen ( ""kan een Supremum hebben in R..."") ,dan is het antwoord: Ja


En als het antwoord ja is... wat is er dan een voorbeeld van? Want ik snap het nog niet goed :D

#4

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 02 november 2007 - 14:43

Laten we als voorbeeld het open interval <0 , 2> nemen in R. ( <0,2> is een deelverzameling van R ).
Onder een bovengrens BG van deze deelverzameling verstaan we een reeel getal (BG) waarvoor geldt dat BG is groter of gelijk aan a voor alle getallen a die tot de deelverzameling behoren.
Voorbeeld: Het getal 3 is een bovengrens, want 3 is groter of gelijk aan elk getal wat behoort tot <0,2>
Het getal 2 , 2,1 , 2,001 ,6 ,34 enzovoort zijn ook allemaal bovengrenzen van het interval <0,2>
Nu heeft een willekeurige deelverzameling in R altijd een supremum in R .
Supremum betekend : Kleinste bovengrens.
Een supremum van een bepaalde deelverzameling in R moet dus aan 2 dingen voldoen:
1) Het moet een bovengrens zijn van de deelverzameling
2) Elk getal wat kleiner is dan het supremum , is geen bovengrens meer.
Voorbeeld: Het getal 2,01 is wel een bovengrens maar niet de kleinste bovengrens. Ik kan het getal 2,001 nemen , en dit is weer een bovengrens. Dus was 2,01 niet de kleinste bovengrens.
Vooebeeld: Het getal 2 is een bovengrens . Kies een getal kleiner dan 2 , bijvoorbeeld 1,9999 . Dit getal is geen bovengrens meer van de deelverzameling. (Het is altijd een getal in <0,2> te vinden wat groter is dan 1,9999 ).
Dit geldt voor elk getal kleiner dan 2 . Blijkbaar is 2 de kleinste bovengrens van het interval . 2 is het supremum van <0,2> maar behoort niet tot <0,2> .

Veranderd door aadkr, 02 november 2007 - 14:46


#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 november 2007 - 14:48

Neem het open interval <0 , 2 > . Alle punten die tot dit interval behoren ,zijn verdichtingspunten van het interval.
Neem het gesloten interval ( segment) [ 0, 2 ] . Hier zijn alle punten behalve 0 en 2 verdichtingspunten van het gesloten interval .

Waarom zouden 0 en 2 geen verdichtingspunten van [0,2] zijn? Elke omgeving van 0 (of van 2) bevat elementen van [0,2], verschillend van 0 (of 2). Het zijn echter geen inwendige punten, misschien bedoel je dat? Een andere formulering: er zijn rijtjes in [0,2] die naar 0 (of 2) convergeren, dus het zijn verdichtingspunten.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 02 november 2007 - 15:31

Laten we bij het begin beginnen.
A. Niet alle punten van een deelverzameling D van R hoeven verdichtingspunten van D te zijn.
Dat klopt volgens mij. Neem bijvoorbeeld de deelverzameling {0,1,2,3} van R . De getallen 0 ,1,2,3 zijn geen verdichtingspunten.
B . Een deelverzameling D van R kan verdichtingspunten in R hebben, die niet tot D zelf behoren.
Voorbeeld: Het open interval <0,2> . Elk getal wat behoort tot <0,2> is verdichtingspunt in R ,en behoort tot de deelverzameling <0,2> zelf.
Voorbeeld: Het gesloten interval ( segment) [0,2] . Op het eerste gezicht zou ik zeggen dat alle getallen behalve 0 en 2 verdichtingspunten in R zijn ,die niet tot [0,2] zelf behoren. Maar ik begin te twijfelen.
In het boek : ""Analyse"" van Grootendorst en Meulenbeld staat:
""Onder een ophopingspunt of verdichtingspunt van een verzameling reeele getallen verstaat men een getal L , zo dat in iedere willekeurige kleine omgeving van L oneindig veel elementen van de verzameling liggen.""

Als je het zo bekijkt, dan zijn de geallen 0 en 2 verdichtingspunten in R die ook tot [0,2] behoren.
Neem bijvoorbeeld het getal 2. Neem een kleine omgeving van 2 , < 2-0,001 , 2+0,001 > . Hier liggen inderdaad oneindig veel elementen van [0,2] in.

Veranderd door aadkr, 02 november 2007 - 15:33


#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 02 november 2007 - 15:38

Laten we bij het begin beginnen.
A. Niet alle punten van een deelverzameling D van R hoeven verdichtingspunten van D te zijn.
Dat klopt volgens mij. Neem bijvoorbeeld de deelverzameling {0,1,2,3} van R . De getallen 0 ,1,2,3 zijn geen verdichtingspunten.

Lijkt me juist.

B . Een deelverzameling D van R kan verdichtingspunten in R hebben, die niet tot D zelf behoren.
Voorbeeld: Het open interval <0,2> . Elk getal wat behoort tot <0,2> is verdichtingspunt in R ,en behoort tot de deelverzameling <0,2> zelf.

En niet alleen elk getal in (0,2). Ook 0 en 2 zijn verdichtingspunten van (0,2) in R, maar liggen niet in (0,2). Dus aan het gevraagde is hiermee voldaan. Met het gesloten interval [0,2] is hier niet aan voldaan. Ook hier zijn 0 en 2 verdichtingspunten, maar ze liggen ook in [0,2] zelf.

Voorbeeld: Het gesloten interval ( segment) [0,2] . Op het eerste gezicht zou ik zeggen dat alle getallen behalve 0 en 2 verdichtingspunten in R zijn ,die niet tot [0,2] zelf behoren. Maar ik begin te twijfelen.
In het boek : ""Analyse"" van Grootendorst en Meulenbeld staat:
""Onder een ophopingspunt of verdichtingspunt van een verzameling reeele getallen verstaat men een getal L , zo dat in iedere willekeurige kleine omgeving van L oneindig veel elementen van de verzameling liggen.""

Als je het zo bekijkt, dan zijn de geallen 0 en 2 verdichtingspunten in R die ook tot [0,2] behoren.
Neem bijvoorbeeld het getal 2. Neem een kleine omgeving van 2 , < 2-0,001 , 2+0,001 > . Hier liggen inderdaad oneindig veel elementen van [0,2] in.

Inderdaad, het zijn dus ook verdichtingspunten.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

aadkr

    aadkr


  • >5k berichten
  • 5441 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 02 november 2007 - 16:30

Misschien nog als aanvulling.
De stelling van Bolzano - Weierstrasz:
""Iedere oneindige begrensde deelverzameling van R heeft minstens 1 verdichtingspunt in R.""
Dus: Als een deelverzameling begrensd is en eindig is , dan heeft deze deelverzameling geen verdichtingspunten in R.
Voorbeeld: DE deelverzameling {0,1,2} is begrensd en eindig: dus heeft geen verdichtingspunten in R.
Dat een deelverzameling van R begrensd is, betekend dat er 2 reele getallen a en b te vinden zijn waartussen de deelverzameling ligt. De deelverzameling is begrensd, betekend dus dat de deelverzameling zowel naar boven als naar beneden begrensd is.
Voorbeeld: < -9 , +900> is begrensd, a= -1000 b= +1000 . ( of: a=-10 b=+901 )





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures