Springen naar inhoud

Buigpunten grafiek op x-as


  • Log in om te kunnen reageren

#1


  • Gast

Geplaatst op 08 maart 2005 - 14:22

Voor school moet ik het volgende probleem oplossen:

Voor elke waarde van p (=niet 0) is gegeven de functie fp(x) = ((x^2)+px)*e^(px)
bereken algebraÔsch de waarden van p waarbij de grafiek van fp een buigpunt heeft dat op de x-as ligt.

Ik heb al het volgende gedaan:
- Probleem geanaliseerd, ingevoerd in GR en gezien dat p ongeveer -1 of 1 moet zijn.
- Geredeneerd dat de x-coordinaat van het buigpunt van een grafiek f(x) het nulpunt van de 2e afgeleide is f"(x).
- De eerste afgeleide berekenen:

fp'(x) = 2xe^(px) + (x^2)*pe^(px) + pe^(px) + (p^2)xe^(px)

Maar volgens mij zit ik nu al op het verkeerde pad, want de 2e afgeleide zal wel een gigantische formule worden, en ookal zou ik die hebben berekend, ik weet niet hoe ik dan verder moet.

Graag jullie deskundige hulp bij dit probleem, als het mogelijk is een volledige uitwerking, en anders uitleg over hoe ik verder moet.

Alvast bedankt!!

Groeten Daniel

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

gemertp

    gemertp


  • >100 berichten
  • 238 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 maart 2005 - 16:57

Ik zou zeggen bereken de tweede afgeleide, welke toch niet al te lang moet zijn, sinds het een somfunctie is en je dus gewoon elke term afzonderlijk kan differentieren. Dan los je zo veel mogelijk f"(x) = 0 op. Dan heb je zoiets als x = ...p .
Dan heb je dus een functie voor het x coordinaat van het buigpunt, deze zullen we even g(p) noemen.
Als het buigpunt op de x as ligt, is het y coordinaat nul, en is dus f(x) = 0.
Neem nu f(g(p)) en los die dus op voor f(g(p)) = 0 en dan komen er dus waardes uit van p waarbij het buigpunt op de x as ligt.

Zo zou ik het doen, maar er zijn hier misschien wel mensen die het beter weten. Ik ben natuurlijk nog maar een 5 vwo'rtje :shock:.
Peter van Gemert
2e jaars Luchtvaart- en Ruimtevaarttechniek, TU Delft

#3

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 maart 2005 - 17:21

De tweede afgeleide van fp(x) valt wel mee, en om de buigpunten te vinden moet je fp''(x)=0 oplossen en controleren of fp'' daar van teken wisselt (dus dat hij links van dat nulpunt negatief en rechts positief, of andersom).

fp''(x) is van de vorm epx∑(tweedegraads veelterm over x).
Dus de nulpunten komt neer op een tweedegraads vergelijking op te lossen, de oplossingen voor x die daaruit komen zijn uitdrukkingen met p.

Om het een buigpunt op de x-as te laten zijn moet ook nog gelden fp(x)=0, dus vul je de x'en van die nulpunten die je gevonden hebt in fp(x) in, en die stel je gelijk aan nul, dat zijn vergelijkingen waar alleen p in voorkomt.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#4


  • Gast

Geplaatst op 08 maart 2005 - 19:40

Zoals Rogier al gezegd heeft, zal je eerst de nulpunten van de oorspronkelijke functie moeten bepalen.

Ik heb dit even gedaan en kwam uit op x=0 en x=-p

Vervolgens de tweede afgeleide berekenen :

2*exp(px)+2*(2x+p)*p*exp(px)+(x^2+px)*p^2*exp(px)

Deze gelijkstellen aan 0. Kwam als oplossing :

x=-1/2*(4+p^2-(8+p^4)^(1/2))/p uit

Vervolgens x=-p gesteld en toen kwam ik een complex getal voor p uit , wat toch wel zeer eigenaardig is. Als ge een oplossing gevonden hebt , laat je het dan eens weten?

#5


  • Gast

Geplaatst op 08 maart 2005 - 22:38

Zoals Rogier al gezegd heeft, zal je eerst de nulpunten van de oorspronkelijke functie moeten bepalen.

Ik heb dit even gedaan en kwam uit op x=0 en x=-p

Vervolgens de tweede afgeleide berekenen :

2*exp(px)+2*(2x+p)*p*exp(px)+(x^2+px)*p^2*exp(px)

Deze gelijkstellen aan 0. Kwam als oplossing :

x=-1/2*(4+p^2-(8+p^4)^(1/2))/p uit

Vervolgens x=-p gesteld en toen kwam ik een complex getal voor p uit , wat toch wel zeer eigenaardig is. Als ge een oplossing gevonden hebt , laat je het dan eens weten?


Sja... Ik heb inmiddels het antwoord denk ik ;) (na de hele middag + avond ermee bezig geweest te zijn) en ik heb het ietsjes anders gedaan dan jij... Komtie:

Eerst de 2e afgeleide berekend:

fp"(x) = 2e^(px) + 4xpe^(px) + 2(p^2)e^(px) + (p^2)(x^2)e^(px) + x(p^3)e^(px)

Zoals jullie ook al zeiden wou ik deze gelijk gaan stellen aan 0 om x uit te drukken in p... Na een tijdje gepuzzeld te hebben zag ik dat ik alle termen door e^(px) kon delen om ze weg te werken:

fp"(x) = 2 + 2(p^2) + 4xp + (p^3)x + (p^2)(x^2)

Dit ziet er al een stuk gemakkelijker uit maar ook bij deze kon ik de x nog niet uitdrukken in p... Maar omdat moet gelden fp(x)=0 als fp"(x)=0 heb ik gebruik gemaakt van de originele fp(x) om de x vrij te maken:

fp(x) = ((x^2) + px)*e^(px)

(x^2)*e^(px) + pxe^(px) = 0
(x^2) + px = 0
x + p = 0
x = -p

Als ik nu fp"(-p) gelijk stel aan 0 krijg ik het volgende:

2 + 2(p^2) + 4*(-p)*p + (p^3)*(-p) + (p^2)*(-p)^2 = 0
2 + 2(p^2) - 4(p^2) - (p^4) + (p^4) = 0
2 - 2(p^2) = 0
2(p^2) = 2
(p^2) = 1
p = -1 V p = 1

Gecontroleerd met de GR klopt dit antwoord... Ik zou het echter heel fijn vinden als jullie misschien mijn berekeningen na konden kijken om eventuele fouten eruit te halen... :shock:

Grtz Daniel





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures