We nemen een versneld translerend en roterend assenstelsel xy met oorsprong o en basisvectoren
\( \hat{i} \)
en \( \hat{j} \)
en een vast assenstelsel XY met oorsprong O en basisvectoren \( \hat{I} \)
en \( \hat{J} \)
. De snelheid van een punt P ten opzichte van dit vaste assenstelsel is dan gelijk aan:\( \vec{OP} = \vec{R} \)
\( \vec{Oo} = \vec{R_0} \)
\( \vec{oP} = \vec{r} \)
Er geldt dus:\( \vec{R} = \vec{R_0} + \vec{r} \)
\( \vec{R} = X_0\hat{I} + Y_0\hat{J} + x\hat{i} + y\hat{j} \)
om de snelheid te bepalen leid ik dit af naar de tijd:\( \vec{v} = \frac{d\vec{R}}{dt} = \frac{d\vec{R_0}}{dt} + \frac{d\vec{r}}{dt} \)
\( \vec{v} = \frac{dX_0}{dt}\hat{I} + \frac{dY_0}{dt}\hat{J} + x\frac{d\hat{i}}{dt} + y\frac{d\hat{j}}{dt} + X_0\frac{d\hat{I}}{dt} + Y_0\frac{d\hat{J}}{dt} + \frac{dx}{dt}\hat{i} + \frac{dy}{dt}\hat{j} \)
Waarbij ik \( \frac{d\hat{I}}{dt} \)
en \( \frac{d\hat{J}}{dt} \)
\( \vec{0} \)
veronderstel.Vraagje nr 1: De basisvectoren beschouw ik als vrije vectoren. Mag dit? Maw, gelden volgende dingen:
\( \hat{i} = \cos(\phi)\hat{I} + \sin(\phi)\hat{J} \)
\( \hat{j} = -\sin(\phi)\hat{I} + \cos(\phi)\hat{J} \)
\( \hat{I} = \cos(\phi)\hat{i} - \sin(\phi)\hat{j} \)
\( \hat{J} = \sin(\phi)\hat{i} + \cos(\phi)\hat{j} \)
NOOT: \( \phi \)
is de hoek waarover het assenstelsel xy geroteerd is tov van XY.Na het afleiden van
\( \frac{d\hat{i}}{dt} \)
en \( \frac{d\hat{j}}{dt} \)
bekom ik dan volgende formule:\( \vec{v} = (\frac{dX_0}{dt} + (\frac{dx}{dt} - y\frac{d\phi}{dt})\cos(\phi) - (\frac{dy}{dt} + x\frac{d\phi}{dt})\sin(\phi))\hat{I} + (\frac{dY_0}{dt} + (\frac{dx}{dt} - y\frac{d\phi}{dt})\sin(\phi) + (\frac{dy}{dt} + x\frac{d\phi}{dt})\cos(\phi))\hat{J}\)
Nu weet ik niet goed hoe je in deze vergelijking x en y vervangt door uitdrukkingen met X, X0, Y en Y0 Ik heb al een coordinatentransformatie doorgevoerd toen ik de basisvectoren transformeerde. Ik weet niet goed of ik dit nog eens moet transformeren...maar dan moet ik wel rekening houden met de verschuiving, namelijk met X0 en Y0? Maw, mag ik gewoon nog het volgende toepassen:\( x = \cos(\phi)(X-X_0) - \sin(\phi)(Y-Y_0) \)
\( y = \sin(\phi)(X-X_0) + \cos(\phi)(Y-Y_0) \)
Alvast bedankt!