Als voorbereiding op Vlaamse Wiskunde Olympiade 2008 moeten we enkele oefeningen maken van de 2007-reeks. Ik heb alleen problemen met de volgende:
Hoeveel gehele oplossingen bezit de verlijking LaTeX: \sqrt{x+4\sqrt{x-4}} + \sqrt{x-4\sqrt{x-4}} = 4?
A) 0
B) 2
C) 4
D) 5
E) oneindig veel
Met logisch denken kom ik wel tot het correcte antwoord, maar hoe moet je dit berekenen ? Het zou iets te maken hebben met irrationale functies...
Laatste berichten
-
11:52
Gravity and gravitation
-
10:15
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
09:54
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 6
-
23:07
Rood laserlicht 2
-
15:28
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
12:51
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
-
23 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
23 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
23 apr
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
23 apr
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
23 apr
projectiel 8
-
23 apr
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
23 apr
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Oefening vwo 2007
Forumregels
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
(Middelbare) school-achtige vragen naar het forum "Huiswerk en Practica" a.u.b.
Zie eerst de Huiswerkbijsluiter
-
- Berichten: 7.556
Re: Oefening vwo 2007
De LaTeX-code verschijnt goed als je er de tags
Wat is je logische beredenering dan?
\( \)
omheen zet:\(\sqrt{x+4\sqrt{x-4}} + \sqrt{x-4\sqrt{x-4}} = 4\)
Wat is je logische beredenering dan?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
Re: Oefening vwo 2007
Voor x<4 bestaat de wortel al niet. -> E valt af
Je begint dus gehele uitkomsten vanaf 4 te zoeken
Voor x=4, x=5; en x=8 kan het simpelweg uitrekenen.
Als x>8 is is de eerste wortel al groter als 4 en kan de vergelijking dus nooit opgaan. -> 5 oplossingen.
Maar kan iemand het bereken? De vergelijking zo oplossen (met rationele exponenten) lukt me niet. Hoe kan ik dat dan wel berekenen ?
Je begint dus gehele uitkomsten vanaf 4 te zoeken
Voor x=4, x=5; en x=8 kan het simpelweg uitrekenen.
Als x>8 is is de eerste wortel al groter als 4 en kan de vergelijking dus nooit opgaan. -> 5 oplossingen.
Maar kan iemand het bereken? De vergelijking zo oplossen (met rationele exponenten) lukt me niet. Hoe kan ik dat dan wel berekenen ?
-
- Berichten: 6.905
Re: Oefening vwo 2007
kwadrateer beide leden, dan nogmaals, maar de overige wortels aan 1 kant.
let op de kwadrateringsvoorwaarde
let op de kwadrateringsvoorwaarde
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.
Re: Oefening vwo 2007
Op een moment kom je dan het volgende uit:
dan kom je 0 = 0 uit
\( \sqrt{x^2-16(x-4)}=8-x \)
met als KV x < 8dan kom je 0 = 0 uit
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Oefening vwo 2007
Helemaal goed, behalve de voorwaarde. Die moet zijn: 4<=x<=8.Utie schreef:Op een moment kom je dan het volgende uit:
\( \sqrt{x^2-16(x-4)}=8-x \)met als KV x < 8
dan kom je 0 = 0 uit
Re: Oefening vwo 2007
Hoe kan je dan nou 0 = 0 uitkomen ? Of kan ik die vgl in mijn vorige post anders uitwerken ?
De totale voorwaarde BV samen met KV is inderdaad groter of = aan 4 en kleiner of = 8.
De totale voorwaarde BV samen met KV is inderdaad groter of = aan 4 en kleiner of = 8.
-
- Berichten: 7.556
Re: Oefening vwo 2007
0=0 is een ware bewering. 0 is immers gelijk aan 0.Utie schreef:Hoe kan je dan nou 0 = 0 uitkomen ? Of kan ik die vgl in mijn vorige post anders uitwerken ?
De totale voorwaarde BV samen met KV is inderdaad groter of = aan 4 en kleiner of = 8.
Dus de vergelijking was waar, voor díe x-en die aan de voorwaarden voldoen.
Meestal los je een vgl op en bekom je x=..., wat wil zeggen dat voor die x-en de vergelijking waar was. Als je die oplossing invult in de oorspronkelijke vergelijking, bekom je alsnog 0=0.
Anders gezegd: als je bij een vergelijking in x op 0=0 stuit, geldt de vergelijking voor álle x. Bijv. als je x=x wilt "oplossen", krijg je ook 0=0 -> voor alle x geldt ge gelijkheid.
Omdat hier een (extra) voorwaarde gesteld is, geldt het voor alle x die ook nog aan die voorwaarden voldoen.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -
- Niels Bohr -
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Oefening vwo 2007
Ik ben helemaal verrast door je reactie. Ik dacht, zo ben je eruit gezien je eerste vraag, maar kennelijk voel je je bedot???Utie schreef:Hoe kan je dan nou 0 = 0 uitkomen ? Of kan ik die vgl in mijn vorige post anders uitwerken ?
De totale voorwaarde BV samen met KV is inderdaad groter of = aan 4 en kleiner of = 8.
Laat ik een vb geven: x=x, is dit voor jou een verg? Zo ja, kan je een getal voor x invullen zo dat de verg niet waar is?
Wat is dan de opl verz van deze verg.
In de wiskunde noemen we zo'n verg een identiteit.
Een ander vb van een identiteit is: a²-b²=(a-b)(a+b), ook hier kan je proberen voor a en b getallen in te vullen zo dat het niet klopt. Maar misschien vind je dat ook zonde van je tijd?
Je bent gewend aan verg, zoals: x+3=-5 en dan vind je keurig netjes één opl. Maar wat zeg je bij x²=-3?
Nu even terug naar je opgave: omdat nu dus alle x (reëel) tussen 4 en 8 voldoen, voldoen dus ook 4, 5, 6, 7 en 8. Dat zijn 5 opl.
Heb je een GR, teken dan eens de grafiek van het linkerlid. Misschien verrast je dat niet meer!
Re: Oefening vwo 2007
Hier staat mijn voorlopig resultaat: http://www.pwsdopplereffect.net/16.jpg
Staan er hier eventuele foutjes in ? Alvast bedankt
Ik ben inderdaad een beetje verrast, maar dat is omdat wanneer je 2 leden met 0 vermenigvuldigt, je ook 0 = 0 uitkomt. Maar dit is inderdaad al uitgesloten in de voorwaarden. Is er ook een mogelijkheid om zonder 0 = 0 als eindvergelijking uit te komen ?
Staan er hier eventuele foutjes in ? Alvast bedankt
Ik ben inderdaad een beetje verrast, maar dat is omdat wanneer je 2 leden met 0 vermenigvuldigt, je ook 0 = 0 uitkomt. Maar dit is inderdaad al uitgesloten in de voorwaarden. Is er ook een mogelijkheid om zonder 0 = 0 als eindvergelijking uit te komen ?
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Oefening vwo 2007
Je hebt wat mij betreft iets teveel gedaan.
Als x>=4 is, is x+4*sqrt(x-4)>=4 (zie je dat niet direct?)
en x-4*sqrt(x-4)>=0. Denk hier eens aan de grafieken voor y=x en y=4*sqrt(x-4) voor x>=4
Verder:
Jij krijgt als uitkomst 8-x, dus geldt dit voor x<=8 en daarmee ben je klaar!
Nog maar eens goed overdenken!
Je opmerking: als je links en rechts met 0 vermenigvuldigt !???! is heiligschennis want dat mag nooit!!!
Als x>=4 is, is x+4*sqrt(x-4)>=4 (zie je dat niet direct?)
en x-4*sqrt(x-4)>=0. Denk hier eens aan de grafieken voor y=x en y=4*sqrt(x-4) voor x>=4
Verder:
\(\sqrt{x^2-16(x-4)}=|x-8|\)
dit geldt voor alle reële xJij krijgt als uitkomst 8-x, dus geldt dit voor x<=8 en daarmee ben je klaar!
Nog maar eens goed overdenken!
Je opmerking: als je links en rechts met 0 vermenigvuldigt !???! is heiligschennis want dat mag nooit!!!
Re: Oefening vwo 2007
Weet ik, dat bedoel ik daarmee. Er zijn manier om 0 = 0 uit tekomen; door gewoon uit te werken (bij toeval) of beide leden x 0 te doen (maar dit mag niet) !Je opmerking: als je links en rechts met 0 vermenigvuldigt !???! is heiligschennis want dat mag nooit!!!
Heb het gevonden, groetjes Utie
-
- Pluimdrager
- Berichten: 10.058
Re: Oefening vwo 2007
Ik heb hier nog een aardige: kies van de eerste term het gedeelte onder de wortel,Phys schreef:De LaTeX-code verschijnt goed als je er de tags\( \)omheen zet:
\(\sqrt{x+4\sqrt{x-4}} + \sqrt{x-4\sqrt{x-4}} = 4\)
\(x+4\sqrt{x-4}=x-4+4\sqrt{x-4}+4=\left(\sqrt{x-4}\right)^2+2\cdot2\sqrt{x-4}+2^2=\left(\sqrt{x-4}+2\right)^2\)
Analoog de tweede term!zodat we voor het linkerlid:
\(|\sqrt{x-4}+2|+|\sqrt{x-4}-2|\)
kunnen schrijven. De absoluutstrepen in de eerste term kunnen vervangen worden door gewone haken omdat de eerste term groter dan of gelijk aan 2 is. De tweede term moet op de gebruikelijke manier behandeld worden.
Zodat er voor het linkerlid volgt:
\(4\leq x\leq 8 \Rightarrow linkerlid=4\)
\(x\geq 8 \Rightarrow linkerlid=2\sqrt{x-4}\)
