Springen naar inhoud

Cosinus van 2 pi / 5


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Erik Leppen

    Erik Leppen


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 november 2007 - 10:33

Dat cos(2pi/6) = 1/2 en cos(2pi/8) = 1/sqrt(2) is bij de meesten wel bekend, maar is er een mooie manier om onderstaande gelijkheid te bewijzen?

cos(2pi / 5) = (sqrt(5) - 1) / 4 ?

Ik zou zeggen, met behulp van verdubbelingsformules voor goniometrische functies en dergelijke kan ik misschien een polynoom afleiden waar cos(2pi/5) een nulpunt van is en dan ontbinden in irreducibele factoren en zo het minimaalpolynoom vinden (misschien het minimaalpolynoom van de vijfdegraads eenheidswortel, X^4 + X^3 + X^2 + X + 1, gebruiken),
maar dat vind ik nogal een lelijke en omslachtige methode. Ik kom de formule tegen in een opgave die ik aan het maken ben; ik kan de gelijkheid ook wel aannemen, maar als er een mooi kort en bondig argument zou bestaan dan is dat wel zo volledig om ook op te nemen in de uitwerking. Is dat er?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 15 november 2007 - 11:20

Laat eens zien hoe jij er in de opgave op komt?

#3

Erik Leppen

    Erik Leppen


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 november 2007 - 12:43

Daar zal je denk ik niet zo heel veel informatie uit kunnen halen, want 't gaat over een bilineaire vorm gedefinieerd als
LaTeX , waarbij i en j tussen 1 en n lopen, en de m's voortkomen uit een Coxetergroep...

#4

phoenixofflames

    phoenixofflames


  • >250 berichten
  • 503 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 november 2007 - 14:39

via complexe getallen

LaTeX
of
LaTeX dus LaTeX
LaTeX

bereken t, haal hier z uit, je krijgt een reeel en een imaginair deel

|z| = 1

nemen we die in het eerste kwadrant LaTeX

dan volgt uit *** en **, stellen we Re delen aan elkaar gelijk
cos(2 \pi /5 ) = ( -1 + 5^{1/2} ) /4

Veranderd door phoenixofflames, 15 november 2007 - 14:43


#5

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 november 2007 - 16:22

via complexe getallen(...)


Snap je zelf wel wat daar allemaal staat? :D

@TS zie: http://mathworld.wol...yAnglesPi5.html
Quitters never win and winners never quit.

#6

phoenixofflames

    phoenixofflames


  • >250 berichten
  • 503 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 november 2007 - 16:38

Snap je zelf wel wat daar allemaal staat? :D

@TS zie: http://mathworld.wol...yAnglesPi5.html


ik los de vergelijking z^5 = 1 op met 1 = e^(2pi + 2kpi)
1/ goniometrische:
ik neem de 5e machtswortel van z^5 en bekijk een van de oplossingen nl. z = (cos(2pi/5) + i sin(2pi/5) met |z| = 1
anderzijds los los ik z^5 op de 'normale' manier op d.m.v. substitutie en kijk welke zich in het eerste kwadrant bevindt en stel de reŽle delen aan elkaar gelijk

Veranderd door phoenixofflames, 15 november 2007 - 16:41


#7

dirkwb

    dirkwb


  • >1k berichten
  • 4173 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 15 november 2007 - 17:44

[quote name='phoenixofflames' post='366682']via complexe getallen

LaTeX

LaTeX
Quitters never win and winners never quit.

#8

phoenixofflames

    phoenixofflames


  • >250 berichten
  • 503 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 november 2007 - 17:55

inderdaad, ik ben de i vergeten. Je hebt volledig gelijk

#9

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 15 november 2007 - 20:59

Een meetkundige opl is ook nooit weg.
Begin met een gelijkbenige dhk, met basishkn van 72į. Neem de benen 1 en de basis x. Trek de bissectrice uit een basishoek naar het andere been. Je hebt nu twee gelijkbenige gelijkvormige dhkn. Dan geldt de volgende verhouding:
1/x=x/(1-x) het geen leidt tot: x≤+x-1=0 en de opl:
LaTeX
Nu is:
LaTeX

#10

Erik Leppen

    Erik Leppen


  • >250 berichten
  • 368 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 16 november 2007 - 11:55

De manier van dirkwb is de algebraische manier en die werkt wel, dus bedankt! Maar toch vind ik de meetkundige manier van Safe ook wel heel elegant. Dus bedankt allebei! :D

#11

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 16 november 2007 - 13:39

De manier van dirkwb is de algebraische manier en die werkt wel, dus bedankt! Maar toch vind ik de meetkundige manier van Safe ook wel heel elegant. Dus bedankt allebei! :D

OK! Succes.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures