Veeltermen Complexe getallen / Hoofdstelling van de algebra
Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood
-
- Berichten: 5
Veeltermen Complexe getallen / Hoofdstelling van de algebra
Bewijs:
a[/size]5z^5 + a4z^4 + a3z^3 + a2z^2 + a1z + a0 met ai is een element van de reële getallen, heeft minstens 1 reële vierkantswortel
(de getallen achter de a zijn telkens zo een index vanonder)
iemand enig idee?
a[/size]5z^5 + a4z^4 + a3z^3 + a2z^2 + a1z + a0 met ai is een element van de reële getallen, heeft minstens 1 reële vierkantswortel
(de getallen achter de a zijn telkens zo een index vanonder)
iemand enig idee?
- Berichten: 7.224
Re: Veeltermen Complexe getallen / Hoofdstelling van de algebra
stel pi zijn oplossingen. Dan is de vergelijking te schrijven als
a5(z - p1)(z - p2)(z - p3)(z - p4)(z - p5)
Als je dit gaat uitschrijven, onstaat er een term zonder z: -a5p1p2p3p4p5
Welke gelijk moet zijn aan het reele getal a0
Dit kan alleen als minimaal een van de oplossingen reeel is.
a5(z - p1)(z - p2)(z - p3)(z - p4)(z - p5)
Als je dit gaat uitschrijven, onstaat er een term zonder z: -a5p1p2p3p4p5
Welke gelijk moet zijn aan het reele getal a0
Dit kan alleen als minimaal een van de oplossingen reeel is.
If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants.-- Isaac Newton
-
- Berichten: 718
Re: Veeltermen Complexe getallen / Hoofdstelling van de algebra
Andere methodes zijn:
Als je alleen naar reele waarden voor z dan zijn de limieten voor z naar +∞ en -∞ oneindig tegengesteld van teken (resp +∞ en -∞ of -∞ en +∞) zodat er dus een reëel nulpunt moet zijn.
Omdat de coëfficienten reeel zijn komen alle complexe wortels in (complex geconjugeerde) paren voor. Omdat er in totaal 5 wortels zijn moer er dus in ieder geval 1 reëel zijn.
Als je alleen naar reele waarden voor z dan zijn de limieten voor z naar +∞ en -∞ oneindig tegengesteld van teken (resp +∞ en -∞ of -∞ en +∞) zodat er dus een reëel nulpunt moet zijn.
Omdat de coëfficienten reeel zijn komen alle complexe wortels in (complex geconjugeerde) paren voor. Omdat er in totaal 5 wortels zijn moer er dus in ieder geval 1 reëel zijn.