Hulp bij het bepalen van een afgeleide

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 42

Hulp bij het bepalen van een afgeleide

Hallo allemaal,

Van de volgende functie moet ik uitwerken
\(\lim{ x \to 0^+} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{(1/x^2)}\)
Dit wil ik doen aan de hand van de afgeleide van deze functie, de limiet van zijn afgeleide moet logischerwijze hetzelfde zijn in x->0+, toch?

Nu meen ik de afgeleide te kunnen bepalen door te stellen dat de afgeleide van [text]b^x[/tex] gekijk is aan
\(b^x\ln(x)\)
, dus moet de uiteindelijke berekening komen van hetvolgende (waarbij de afgeleidde uiteraard nog uitgewerkt moeten worden):
\(\left(\frac{1}{x^2}\right)' \cdot \left (\frac{\sin x}{x}\right)' \cdot \left(\frac {\sin x}{x}\right)^{(1/x^2)} \cdot \ln \left(\frac{1}{x^2}\right)\)
Klopt dit een beetje, of zit ik er ver naast?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Hulp bij het bepalen van een afgeleide

Dit wil ik doen aan de hand van de afgeleide van deze functie, de limiet van zijn afgeleide moet logischerwijze hetzelfde zijn in x->0+, toch?
Neem bijv.
\(f(x)=xe^x \ \Rightarrow \ f'(x)=e^x+xe^x\)
[/quote]

Hoe je die limiet kan berekenen:
\(\lim_{ x \rightarrow 0} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}=1^{\infty}\)
Onbepaalde vorm!
\(\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}=e^{\ln{\left(\left(\frac{\sin x}{x}\right)^{\frac{1}{x^2}}}\right)}}=e^{\frac{1}{x^2} \ln{\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)} \)
\(\lim_{x \rightarrow 0} e^{\frac{1}{x^2} \ln{\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)}\)
De exponent is nu van de vorm:
\(\infty \cdot 0\)
, je kan deze dus omschrijven naar
\(\frac{0}{0}\)
en dan de regel van L'Hôpital toepassen.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Berichten: 42

Re: Hulp bij het bepalen van een afgeleide

Bedankt, ik ga deze verder uitwerken!!! ;-)

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Hulp bij het bepalen van een afgeleide

barrel schreef:Hallo allemaal,

Van de volgende functie moet ik uitwerken
\(\lim{ x \to 0^+} \left(\frac{\sin x}{x}\right)^{(1/x^2)}\)
Ik zou dit toch anders doen, tenminste als je de reeksontw van sin(x) kent!
\(\frac{sin(x)}{x}=\frac{x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...}{x}=1-\frac{x^2}{3!}+...\)

Berichten: 42

Re: Hulp bij het bepalen van een afgeleide

De exponent is nu van de vorm:
\(\infty \cdot 0\)
, je kan deze dus omschrijven naar
\(\frac{0}{0}\)
en dan de regel van L'Hôpital toepassen.
Oei.... ik heb nog veel te leren, want hier kom niet echt uit. :D

Eigenwijs als ik ben wil ik toch nog even terugkomen op mijn eerste vraag. Hetvolgende geldt:
\(\frac{d}{dx}b^u=b^u\cdot ln(b)\frac{du}{dx}\)
Dan zou hetvolgende moeten gelden:
\(f(x)=a^{(1/x^2)} \Rightarrow f'(x)=\left(\frac{1}{x^2}\right)'\cdot a ^{(1/x^2)} \ln (a) \)
met
\(a=(\sin x/x)\)
Dan zouden nog rekening moeten houden met het dubbele product en komen we uit op mijn allereerste poging.

Waarom is dat niet correct?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Hulp bij het bepalen van een afgeleide

Om te beginnen ziet dat er niet juist uit, maar vooral: wat denk je daarmee te doen?

Het vinden van een limiet heeft in eerste instantie niets met afgeleiden te maken...

Alleen bij onbepaalde vormen (0/0 of ∞/∞) kan je de regel van l'Hôpital toepassen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 503

Re: Hulp bij het bepalen van een afgeleide

omdat je afleidt naar x, jij beschouwt a alsof er 'geen x in zou zitten'. a is niet constant

je leidt toch ook niet sin(x*sin(x)) af als

sin(x) = a --> (sin(ax))' = acosx ?

de b die jij gebruikt in de formule, is een constante

(5^x)' = 5^x * ln(5)

Berichten: 42

Re: Hulp bij het bepalen van een afgeleide

Om te beginnen ziet dat er niet juist uit, maar vooral: wat denk je daarmee te doen?
Mijn idee is dat als er een limiet in een bepaald punt is, dan moet zijn afgeleide dezelfde limiet hebben. We naderen hier van de positieve kant naar nul en vlak bij nul zullen de functie en de raaklijn van de functie bij benadering hetzelfde zijn....

Of is deze aanname al niet juist?
phoenixofflames schreef:de b die jij gebruikt in de formule, is een constante

(5^x)' = 5^x * ln(5)
Ah... groffe fout, bedankt!!!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Hulp bij het bepalen van een afgeleide

barrel schreef:Mijn idee is dat als er een limiet in een bepaald punt is, dan moet zijn afgeleide dezelfde limiet hebben. We naderen hier van de positieve kant naar nul en vlak bij nul zullen de functie en de raaklijn van de functie bij benadering hetzelfde zijn....

Of is deze aanname al niet juist?
Dat is niet juist. De limiet van f(x) = x voor x gaande naar 0 is 0, terwijl de afgeleide functie overal 1 is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Hulp bij het bepalen van een afgeleide

Oei.... ik heb nog veel te leren, want hier kom niet echt uit. :D
Dat je idee over afgeleiden niet kan kloppen had ik al laten zien door een voorbeeld te geven. Nu heb je twee tegenvoorbeelden.

Zullen we verder gaan vanaf waar we waren gebleven?..
\(\lim_{x \rightarrow 0} e^{\frac{1}{x^2} \ln{\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)}\)
De exponent is nu van de vorm:
\(\infty \cdot 0\)
, je kan deze dus omschrijven naar
\(\frac{0}{0}\)
en dan de regel van L'Hôpital toepassen.

\(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{1}{x^2} \ln{\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)} =\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\ln{\left(\frac{\sin{x}}{x}\right)}}{x^2}=\frac{0}{0} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \mathsf{l'Hôpital \ (1)}\)

\(\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x}{\sin{x}} \left(\frac{x \cos{x}-\sin{x}}{x^2}\right)}{2x}=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \cos{x} - \sin{x}}{2x^2 \sin{x}}=\frac{0}{0} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \mathsf{l'Hôpital \ (2)}\)

\(\lim_{x \rightarrow 0} -\frac{x \sin{x}}{4x \sin{x}+2x^2 \cos{x}}=\lim_{x \rightarrow 0} -\frac{\sin{x}}{4 \sin{x}+2x \cos{x}}=\frac{0}{0} \ \rightarrow \ \ \mathsf{l'Hôpital \ (3)}\)

\(\lim_{x \rightarrow 0} -\frac{\cos{x}}{4\cos{x}+2 \cos{x}-2x\sin{x}}=\lim_{x \rightarrow 0} -\frac{\cos{x}}{6\cos{x}-2x\sin{x}}=-\frac{1}{6}\)

\(\mathsf{Dus \ de \ gevraagde \ limiet \ is \ e^{-\frac{1}{6}} }\)
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Hulp bij het bepalen van een afgeleide

\(\lim_{x \rightarrow 0} \left(\frac{\sin{x}}{x}\right)^\frac{1}{x^2}} =\lim_{x \rightarrow 0}\left(1-\frac{x^2}{3!}\right)^\frac{1}{x^2}=\lim_{x \rightarrow 0}\left(\left(1-\frac{x^2}{3!}\right)^{-\frac{3!}{x^2}}\right)^{-\frac{1}{3!}}=e^{-\frac{1}{6}}\)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Hulp bij het bepalen van een afgeleide

Aah ;)

@Barrel

Als je niet ziet wat Safe hierboven heeft gedaan, bedenk dan dat 1
\(e=\lim_{m \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{m}\right)^ m\)
en dat 2
\(\sin{x}\approx x-\frac{x^3}{3!}...\)
Door nu handig gebruik te maken van deze twee identiteiten los je die limiet makkelijk op. Beter dan mijn lange uitwerking, maar wel moeilijk als je nog weinig voorkennis hebt.

1. klik hier voor meer informatie over de wiskundige constante e

2. klik hier voor taylorserie rond 0 van sinus
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Hulp bij het bepalen van een afgeleide

@Morzon, bedankt voor de details.

@barrel:

Iets uitgebreider:
\(e=\lim_{m \rightarrow \infty} \left(1+\frac{1}{m}\right)^ m=\lim_{m \rightarrow \infty} \left(1-\frac{1}{m}\right)^{-m}\)
En de tweede heb ik dus gebruikt.

De reeksontwikkeling heb ik al in een eerdere post aangegeven.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Hulp bij het bepalen van een afgeleide

De manier van Safe is in dit geval korter, maar is ook wat 'gevaarlijker'. Zeker als je geen ervaring hebt met deze methode, moet je dat eerst eens grondig bekijken. Uiteraard moet je er reeksontwikkelingen voor kennen. Het 'lastige' is dat je op voorhand niet altijd weet wanneer je de reeks mag afbreken.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 42

Re: Hulp bij het bepalen van een afgeleide

Dat je idee over afgeleiden niet kan kloppen had ik al laten zien door een voorbeeld te geven. Nu heb je twee tegenvoorbeelden.
Inderdaad, excuses voor het negeren van het antwoord, maar ik was er in mijn onwetendheid een beetje vanuit gegaan dat het hier om een soort uitzondering ging. Ik zal de volgende keer beter de antwoorden lezen en doorredeneren!

@allemaal! Enorm bedankt voor de antwoorden. Ik zal me houden aan de oplossing van Morzon omdat deze dichter bij onze lesstof ligt, maar de andere zal ik zeker ook eens goed doorrekenen, kwestie van beter begrip ;-) Ik meen me ook de herinneren dat we na afgeleiden eerst integralen gaan behandelen en dan reeksen. Deze uitwerking zal me dan zeker kunnen helpen!

Nogmaals bedankt!

Barry

Reageer