Springen naar inhoud

Eigenwaarden en eigenvectoren lin. transf.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

chosen1

    chosen1


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 03 december 2007 - 20:14

ik heb enkele weken geleden een proefexamen lineaire algebra gehad.

hierbij werd deze vraag gesteld:

Beschouw de vectorruimte V=R^2x2 van alle reŽle 2x2 matrices. In deze ruimte definiŽren we de transformatie:
f: V->V: A-> A + A^T

dus voor elke matrix in 2x2 geldt f(A)=A+A^T

Zoek de eigenwaarden en eigenvectoren van deze transformatie.

ik had op het examen geprobeerd de EW te berekenen van A + A^T maar dat was niet juist.

ik zou nu de matrixvoorstelling van f willen berekenen maar ik weet niet hoe ik dit doe voor matrices.

kunnen jullie mij op weg helpen?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 december 2007 - 12:00

Stel de matrix van de transformatie op door de beelden van de basisvectoren te bepalen.
De standaardbasis voor de 2x2-matrices is:

LaTeX

Bepalen van de beelden:

LaTeX

De transformatiematrix is dus:

LaTeX

Door handig te ontwikkelen naar de juiste kolommen/rijen, vind je:

LaTeX

Vereenvoudigen levert als karakteristieke vergelijking: k(2-k)≥ = 0.
Dus eigenwaarde 0 (multipliciteit 1) en eigenwaarde 2 (multipliciteit 3).

Kan je zelf verder voor de eigenvectoren?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 04 december 2007 - 18:16

Ik heb een probleem met je oplossing: Gij stelt 2x2 matrices gelijk aan viertallen?. Ik had de oplossing gevonden als de basisvectoren tweetallen... zijn . Als de basisvectoren matrices zijn vond ik nergens iets. Je oplossing klopt goed met deze oplossing uitgenomen dan die ene opmerking.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 december 2007 - 18:19

Je kan een 2x2-matrix niet voorstellen door (≠ gelijkstellen aan) een tweetal... Wel door een viertal.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 04 december 2007 - 21:42

Dat men een 2x2 matrix kan gelijkstellen aan een viertal. Het is juist dit dat ik niet begrijp.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 december 2007 - 21:44

Ik kan elke 2x2-matrix ondubbelzinnig vastleggen door, in een bepaalde volgorde, de vier elementen van de matrix te geven. Die vier elementen kan ik bijvoorbeeld in een geordend viertal steken, als voorstelling van de 2x2-matrix.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

kotje

    kotje


  • >1k berichten
  • 3330 berichten
  • Verbannen

Geplaatst op 05 december 2007 - 08:39

Dit had ik ook al begrepen. Maar dat men er een gelijkteken kan tussen zetten dat gaat mijn petje te boven. Hoe gaat men dan de vermenigvuldiging viertallen definiŽren om in overeenstemming met vermenigvulgiging 2 2x2 matrixes te blijven. Misschien is het symbolisch omdat je uitkomst toch klopt.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

#8

chosen1

    chosen1


  • 0 - 25 berichten
  • 18 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 05 december 2007 - 13:39

om van de 2x2 matrices naar een viertal te gaan moet men de matrix gelijkstellen aan een veelvoud van de basisvectoren.

voor de eerste is dit dus 2xbasisvector1 + 0xbasisvector2 + ... wat het viertal (2,0,0,0) levert.

#9

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 december 2007 - 17:42

Je schrijft de matrix als een lineaire combinatie (= som van veelvouden) van de basisvectoren.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures