Eigenwaarden en eigenvectoren lin. transf.

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 18

Eigenwaarden en eigenvectoren lin. transf.

ik heb enkele weken geleden een proefexamen lineaire algebra gehad.

hierbij werd deze vraag gesteld:

Beschouw de vectorruimte V=R^2x2 van alle reële 2x2 matrices. In deze ruimte definiëren we de transformatie:

f: V->V: A-> A + A^T

dus voor elke matrix in 2x2 geldt f(A)=A+A^T

Zoek de eigenwaarden en eigenvectoren van deze transformatie.

ik had op het examen geprobeerd de EW te berekenen van A + A^T maar dat was niet juist.

ik zou nu de matrixvoorstelling van f willen berekenen maar ik weet niet hoe ik dit doe voor matrices.

kunnen jullie mij op weg helpen?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Eigenwaarden en eigenvectoren lin. transf.

Stel de matrix van de transformatie op door de beelden van de basisvectoren te bepalen.

De standaardbasis voor de 2x2-matrices is:
\(S = \left\{ {\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\\end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\\end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\\end{array}} \right),\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}} \right)} \right\}\)
Bepalen van de beelden:
\(\begin{array}{l} f\left( {\begin{array}{*{20}c} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 & 0 \\ 0 & 0 \\\end{array}} \right) = \left( {2,0,0,0} \right) \\ \\ f\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end{array}} \right) = \left( {0,1,1,0} \right) \\ \\ f\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\\end{array}} \right) = \left( {0,1,1,0} \right) \\ \\ f\left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 \\ 0 & 1 \\\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} 0 & 0 \\ 0 & 2 \\\end{array}} \right) = \left( {0,0,0,2} \right) \\ \end{array}\)
De transformatiematrix is dus:
\(M = \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \\\end{array}} \right)\)
Door handig te ontwikkelen naar de juiste kolommen/rijen, vind je:
\(\left| {\begin{array}{*{20}c} {2 - k} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & {1 - k} & 1 & 0 \\ 0 & 1 & {1 - k} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & {2 - k} \\\end{array}} \right| = 0 \Leftrightarrow \left( {2 - k} \right)^2 \left( {\left( {1 - k} \right)^2 - 1} \right) = 0\)
Vereenvoudigen levert als karakteristieke vergelijking: k(2-k)³ = 0.

Dus eigenwaarde 0 (multipliciteit 1) en eigenwaarde 2 (multipliciteit 3).

Kan je zelf verder voor de eigenvectoren?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Eigenwaarden en eigenvectoren lin. transf.

Ik heb een probleem met je oplossing: Gij stelt 2x2 matrices gelijk aan viertallen?. Ik had de oplossing gevonden als de basisvectoren tweetallen... zijn . Als de basisvectoren matrices zijn vond ik nergens iets. Je oplossing klopt goed met deze oplossing uitgenomen dan die ene opmerking.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Eigenwaarden en eigenvectoren lin. transf.

Je kan een 2x2-matrix niet voorstellen door (≠ gelijkstellen aan) een tweetal... Wel door een viertal.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Eigenwaarden en eigenvectoren lin. transf.

Dat men een 2x2 matrix kan gelijkstellen aan een viertal. Het is juist dit dat ik niet begrijp.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Eigenwaarden en eigenvectoren lin. transf.

Ik kan elke 2x2-matrix ondubbelzinnig vastleggen door, in een bepaalde volgorde, de vier elementen van de matrix te geven. Die vier elementen kan ik bijvoorbeeld in een geordend viertal steken, als voorstelling van de 2x2-matrix.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Eigenwaarden en eigenvectoren lin. transf.

Dit had ik ook al begrepen. Maar dat men er een gelijkteken kan tussen zetten dat gaat mijn petje te boven. Hoe gaat men dan de vermenigvuldiging viertallen definiëren om in overeenstemming met vermenigvulgiging 2 2x2 matrixes te blijven. Misschien is het symbolisch omdat je uitkomst toch klopt.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Berichten: 18

Re: Eigenwaarden en eigenvectoren lin. transf.

om van de 2x2 matrices naar een viertal te gaan moet men de matrix gelijkstellen aan een veelvoud van de basisvectoren.

voor de eerste is dit dus 2xbasisvector1 + 0xbasisvector2 + ... wat het viertal (2,0,0,0) levert.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Eigenwaarden en eigenvectoren lin. transf.

Je schrijft de matrix als een lineaire combinatie (= som van veelvouden) van de basisvectoren.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer