Springen naar inhoud

Integraal formule van cauchy.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 04 december 2007 - 21:16

Men heeft volgende stelling:
Geplaatste afbeelding

Men zegt dat het rode volgt uit cauchy goursat maar volgt uit die stelling niet dat elk van de twee rood omkaderde integralen nul moet zijn? Ieder apart dus nul omdat in beide gevallen over een gesloten kromme geďntegreerd word? Groeten.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 04 december 2007 - 21:24

De functie f(z)/(z-a) is niet analytisch over het gebied begrensd door C, want daarin ligt het punt z = a. De functie is wel analytisch in het gebied begrensd door C en Gamma (dat is ook wat er staat), omdat je door Gamma net een cirkel rond de singulariteit weghaalt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 december 2007 - 09:29

Oké bedankt. Maar dat mag zo maar? Bij de stelling van cauchy goursat werd niet expliciet over singulariteiten gesproken.

#4

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 december 2007 - 11:37

Oké bedankt. Maar dat mag zo maar?

'zo maar' maakt het beantwoorden van deze vraag lastig. Zo 'zo maar' is dat namelijk niet. Trek een lijn tussen beide curves, zie het geheel nu als 1 curve (over de getrokken lijn ga je zowel heen als terug). Op deze nieuwe curve kun je zonder problemen de stelling toepassen.

Bij de stelling van cauchy goursat werd niet expliciet over singulariteiten gesproken.

Er wordt echter wel gesproken over analyciteit (euh... hoe spel je dat?) en dat impliceert het een en ander.

#5

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 december 2007 - 12:23

'zo maar' maakt het beantwoorden van deze vraag lastig. Zo 'zo maar' is dat namelijk niet. Trek een lijn tussen beide curves, zie het geheel nu als 1 curve (over de getrokken lijn ga je zowel heen als terug). Op deze nieuwe curve kun je zonder problemen de stelling toepassen.


Bedankt. Dat is duidelijk je construeert dus zo'n gebied wat er aan voldoet. Groeten.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 december 2007 - 17:43

Bij de stelling van cauchy goursat werd niet expliciet over singulariteiten gesproken.

Wanneer is een functie analytisch over een domein? Dat is vereist bij Cauchy-Goursat.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 december 2007 - 18:20

Klopt men vereist bij cauchy goursat dat een functie analytisch is over een domein en dan volgt dat die éne integraal nul word.

Maar als je geen domein hebt dat voldoet, zoals hier met die a erin dan zegt men niet hoe je hiervan een goed domein kan maken. Dat was nieuw voor mij. Groeten.

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 december 2007 - 18:24

De a is hier een probleem, dus bekijk je een gebied waar a niet inzit. Dat doe je bijvoorbeeld door uit een groter gebied dat a bevat, waar f buiten a wel analytisch is, een cirkel met middelpunt a en positieve straal weg te halen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 december 2007 - 18:26

Er wordt echter wel gesproken over analyciteit (euh... hoe spel je dat?)

Ik zou zeggen analyticiteit.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#10

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 december 2007 - 18:27

De a is hier een probleem, dus bekijk je een gebied waar a niet inzit. Dat doe je bijvoorbeeld door uit een groter gebied dat a bevat, waar f buiten a wel analytisch is, een cirkel met middelpunt a en positieve straal weg te halen.


Die procedure heb ik door. Maar bewijst Cauchy Goursat dat je dat mag doen?

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 05 december 2007 - 18:33

Cauchy-Goursat zegt enkel iets over de integraal van een functie over een gesloten kromme die volledig binnen een domein gelegen is waar de functie analytisch is. Je kan die stelling dus niet toepassen op de kromme C, omdat f niet analytisch is in het gebied begrensd door C (door de singulariteit in a).
Maar als je uit dit gebied de singulariteit weghaalt door een cirkel rond a te nemen en je integreert over C en Gamma met als ingesloten gebied het domein tussen C en Gamma (waar a niet in zit), dan mag Cauchy-Goursat wel want f is daar analytisch (en de integraal dus 0).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 05 december 2007 - 18:48

Oké bedankt Begrijp het.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures