Springen naar inhoud

Analytische voortzetting.


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 06 december 2007 - 21:16

Geplaatste afbeelding

Hoe zie ik in dat f(z)=f_1(z) voor z element van D? Groeten.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 december 2007 - 22:56

Goede vraag, voorbeelden brengen immers maar weinig bij als je ze niet begrijpt!

Je weet dat de eerste reeks voor |z|<1 convergeert, het is een meetkundige reeks.
De oneindige som is gelijk aan:

LaTeX

Dat resultaat ken je normaal gezien van vroeger, rijen en reeksen.

De tweede reeks is voor |z+1|<2 ook convergent (meetkundig), met als som:

LaTeX

Je ziet dat je precies dezelfde functie vindt, maar dit keer voor meer waarden van z.
Waar de eerste reeks slechts bestond voor |z|<1, bestaat de tweede voor |z+1|<2.
De tweede is dus gedefinieerd op een groter domein, het is een analytische voorzetting.

Maar terwijl we dit aantoonden, vonden we ook dat ze op hun domeinen gelijk zijn aan 1/(1-z).
Dus ook deze functie is een analytische voorzetting, nu zelfs tot het grotere domein C\{1}.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 07 december 2007 - 16:33

Ik zie nu dat je kan aantonen dat de som geassocieerd aan beiden reeksen gelijk zijn.
Zijn daarom de functie waarden ook automatisch gelijk? Toon je het feit dat de functie waarden gelijk zijn expliciet aan of doe je dat met een omweg? Groeten.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 december 2007 - 16:58

De twee reeksen hebben allebei 1/(1-z) als som, alleen convergeren de reeksen voor niet voor dezelfde verzameling van z-waarden. Het is precies omdat ze, waar ze beide gedefinieerd zijn, samenvallen en omdat de tweede gedefinieerd is voor een groter domein, dat we spreken van analytische voortzetting.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 december 2007 - 18:08

...waar ze beide gedefinieerd zijn, samenvallen en omdat de tweede gedefinieerd is voor een groter domein, dat we spreken van analytische voortzetting.


Dat ze moeten samenvallen dat begrijp ik. Hiermee bedoel je, dat zelfde beelden zelfde argumenten geeft in dat zeker gebied.

Maar hoe zie je dat die functie waarden gelijk zijn? Doe je dit onrechtstreeks via de som? Groeten.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 december 2007 - 18:13

Logischer gezegd: samenvallen betekent dat gelijke argumenten, gelijke beelden geven.
De beelden zijn de functiewaarden, deze moeten dus samenvallen op het gemeenschappelijk domein.

Stel f:A->R een functie en g:B->R ook en dat A volledig bevat is in B.
Als f en g samenvallen op A, dan is g een analytische voorzetting van f.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 december 2007 - 19:24

Maar het bewijs dat die beelden gelijk zijn volgt dat uit het feit dat de sommen gelijk zijn?

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 december 2007 - 19:44

Inderdaad, de functiewaarden zijn die sommen en die sommen convergeren naar dezelfde waarde.
Alleen convergeren beide reeksen niet voor evenveel z-waarden, de domeinen zijn niet gelijk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Bert F

    Bert F


  • >1k berichten
  • 2588 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 december 2007 - 22:44

Ik denk het te begrijpen Bedankt.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 december 2007 - 01:14

Graag gedaan. Als nog iets onduidelijk is...? Vraag maar :D
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures