Springen naar inhoud

Bewijsje


  • Log in om te kunnen reageren

#1

HappyFew

    HappyFew


  • >25 berichten
  • 72 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 december 2007 - 12:04

Hoe kan ik dit netjes bewijzen:

Geplaatste afbeelding

Ik heb wel wat, maar het is maar half half en ik weet niet hoe ik het het beste snel en mooi kan doen.

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 08 december 2007 - 12:15

Laat maar zien wat je hebt en bedenk dat een extreem is sin(pi/2+k*pi), dus x=1/(pi/2+k*pi).

#3

HappyFew

    HappyFew


  • >25 berichten
  • 72 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 december 2007 - 14:35

f'(x)= -cos(1/x)
-----------
x^2

f'(x) = 0

VW: x =\ 0

-cos(1/x) = 0 --> cos(1/x) = 0
1/x = +/- pi/2 + k2(pi) [k Z]

x= +/- 2/(pi(1+4k))

x [-pi/4,pi/4]

En nu dacht ik als x dichter bij nul gaat moet k ook naar nul gaan en dan zijn er dus met die limiet oneindig maal extrema,
maar ik weet niet ofdit een goede redenering is.

#4

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 08 december 2007 - 17:00

f'(x)= -cos(1/x)
-----------
x^2

f'(x) = 0

VW: x =\ 0

-cos(1/x) = 0 --> cos(1/x) = 0
1/x = +/- pi/2 + k2(pi) [k Z]

x= +/- 2/(pi(1+4k))

x [-pi/4,pi/4]

En nu dacht ik als x dichter bij nul gaat moet k ook naar nul gaan en dan zijn er dus met die limiet oneindig maal extrema,
maar ik weet niet ofdit een goede redenering is.

Het verbaast me dat je nog moet uitrekenen waar de extremen van de sinus zitten. Het is een standaardfunctie en de extremen zitten (zoals ik al eerder opmerkte) bij x=pi/2+k*pi. (geen +/-) k is een geheel getal.
Dus 1/x levert 1/(pi/2+k*pi). Neem nu het interval [0,pi/4], dus 0<1/(pi/2+k*pi)<pi/4.
Voor het linker deel geldt, dat als k pos geheel is, het klopt.
Rest: LaTeX
LaTeX (waarom mag dit?) of
LaTeX
en omdat het rechterlid negatief is wordt hieraan voldaan voor alle k=0, 1, 2, ...
Hoeveel extremen zijn dat?
En nu jij voor het andere interval!

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 december 2007 - 17:06

De extrema bevinden zich voor gehele k op x=1/(pi/2+k*pi).
Door k net groot te nemen, heb je willekeurig dicht bij 0 zoveel extrema als je wil.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

HappyFew

    HappyFew


  • >25 berichten
  • 72 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 december 2007 - 19:05

Het verbaast me dat je nog moet uitrekenen waar de extremen van de sinus zitten. Het is een standaardfunctie en de extremen zitten (zoals ik al eerder opmerkte) bij x=pi/2+k*pi. (geen +/-) k is een geheel getal.
Dus 1/x levert 1/(pi/2+k*pi). Neem nu het interval [0,pi/4], dus 0<1/(pi/2+k*pi)<pi/4.
Voor het linker deel geldt, dat als k pos geheel is, het klopt.
Rest: LaTeX


LaTeX (waarom mag dit?) of
LaTeX
en omdat het rechterlid negatief is wordt hieraan voldaan voor alle k=0, 1, 2, ...
Hoeveel extremen zijn dat?
En nu jij voor het andere interval!


Als ik een oefening oplos, moet ik alles opschrijven, anders geen punten :D
Ik snap je verdere redenering volledig, maar als je weet dat de cosinus
van iets gelijk is aan 0
dan is iets toch gelijk aan +/- pi/2 + k2pi
Zo hebben we dat toch geleerd.

Veranderd door HappyFew, 08 december 2007 - 19:12


#7

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 08 december 2007 - 19:09

Maar hiermee kan je het zelf toch volledig opschrijven, of niet?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#8

Safe

    Safe


  • >5k berichten
  • 9907 berichten
  • Pluimdrager

Geplaatst op 08 december 2007 - 21:06

Als ik een oefening oplos, moet ik alles opschrijven, anders geen punten :D
Ik snap je verdere redenering volledig, maar als je weet dat de cosinus
van iets gelijk is aan 0
dan is iets toch gelijk aan +/- pi/2 + k2pi
Zo hebben we dat toch geleerd.
[/quote]
Je hebt dat zo geleerd, maar het is anders precies hetzelfde als je het even overdenkt.
Dus: cos(x)=0, x==+/-pi/2 +k2pi is hetzelfde als x=pi/2+kpi in beide gevallen met k is een geheel getal (let op het subtiele verschil).
Maar als we het daarover eens zijn blijft het toch een eigenschap van de standaardfunctie sin(x), nl daar liggen de extrema van deze functie.
Goed te horen dat je de rest volledig begrijpt!

#9

HappyFew

    HappyFew


  • >25 berichten
  • 72 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 december 2007 - 00:08

Als ik een oefening oplos, moet ik alles opschrijven, anders geen punten :D
Ik snap je verdere redenering volledig, maar als je weet dat de cosinus
van iets gelijk is aan 0
dan is iets toch gelijk aan +/- pi/2 + k2pi
Zo hebben we dat toch geleerd.

Je hebt dat zo geleerd, maar het is anders precies hetzelfde als je het even overdenkt.
Dus: cos(x)=0, x==+/-pi/2 +k2pi is hetzelfde als x=pi/2+kpi in beide gevallen met k is een geheel getal (let op het subtiele verschil).
Maar als we het daarover eens zijn blijft het toch een eigenschap van de standaardfunctie sin(x), nl daar liggen de extrema van deze functie.
Goed te horen dat je de rest volledig begrijpt!


Ik snap het, dit is hetzelfde als bij een nulpunt van een tangens! Ik denk beter wat langer na voor ik nog zo een domme opmerking post :D

Veranderd door HappyFew, 09 december 2007 - 00:11


#10

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 december 2007 - 13:43

Je zou ook een bewijs uit het ongerijmde kunnen doen door te veronderstellen dat er een kleinste extremum is (= het eerste extremum bij een x>0) en dan vervolgens te laten zien dat dat tot een contradictie leidt.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures