Wetenschapsforum

Wat ik ook interessant vind is dat nog maar pas bewezen is dat 1+1=2. Of is dat nog niet bewezen, ik weet het niet meer. Maar het is dus een hele tijd onbewezen gebleven terwijl dat toch de basis van de wiskunde is, of van het rekenen. Het gaat dus ook voor een groot deel om afspraken.

Wat ik ook interessant vind is dat nog maar pas bewezen is dat 1+1=2. Of is dat nog niet bewezen, ik weet het niet meer. Maar het is dus een hele tijd onbewezen gebleven terwijl dat toch de basis van de wiskunde is, of van het rekenen. Het gaat dus ook voor een groot deel om afspraken.

Dat is zeker wel bekend hoor! Het behoort tot de elementaire getaltheorie en is niet zo eenvoudig en wordt daarom vaak weggelaten bij studies. Helaas...

Dat is zeker wel bekend hoor! Het behoort tot de elementaire getaltheorie en is niet zo eenvoudig en wordt daarom vaak weggelaten bij studies. Helaas...

Wat leuk (apart)! Hoe bewijs je dit?

Ik dacht namelijk dat dit gewoon 1 van de axioma's van de natuurlijke getallen is ("voor elke x, bestaat er een opvolger: x+1")...

Ik weet niet precies hoe je het bewijst, maar ik weet wel dat het ingewikkeld is, vele wiskundigen hebben dat immers al geprobeerd. En misschien was het vroeger een axioma maar begint nu de drang te komen om ook de axioma's te bewijzen...

Het is onmogelijk om alle axioma's te bewijzen waarop de wiskunde gebaseerd is. (Stelling van Godel!)

Wat zegt die stelling precies? Waarom is dat onmogelijk?

Dat is de "onvolledigheidsstelling van Godel". Deze zegt dat er altijd uitspraken zijn die je niet kunt bewijzen, danwel weerleggen. Die dingen moet je dus als axioma's poneren.

Zie hier.

(Tevens afgesplitst en naar Wiskunde verplaatst.)

Wat ik ook interessant vind is dat nog maar pas bewezen is dat 1+1=2. Of is dat nog niet bewezen, ik weet het niet meer. Maar het is dus een hele tijd onbewezen gebleven terwijl dat toch de basis van de wiskunde is, of van het rekenen. Het gaat dus ook voor een groot deel om afspraken.

2 is in de axioma's van Peano gedefinieerd als de opvolger van 1 (aangeduid met S(1)). Voordat je kunt bewijzen dat 1+1=2 zul je eerst een definitie moeten maken voor de bewerking optellen (de optelling zit niet in de axioma's) en dat gebeurt door middel van inductie:

a+0=a

en:

(a+S(b))=S(a+b)

derhalve 1+1=1+(S0)=S(1+0)=S(1)=2

Het lastigste deel van het bewijs is bewijzen dat de optelling op deze manier goed gedefinieerd is.

Math schreef:Dat is zeker wel bekend hoor! Het behoort tot de elementaire getaltheorie en is niet zo eenvoudig en wordt daarom vaak weggelaten bij studies. Helaas...

Wat leuk (apart)! Hoe bewijs je dit?

Ik dacht namelijk dat dit gewoon 1 van de axioma's van de natuurlijke getallen is ("voor elke x, bestaat er een opvolger: x+1")...

Ja, precies weet ik het ook niet (helaas!), maar een van mijn docenten heeft me hierover wel ooit eens wat laten zien. Wat Bert hierboven beschrijft komt me trouwens wel bekend voor, maar ik kan me herinneren dat het wel een stuk langer was...

Elmo schreef:Dat is de "onvolledigheidsstelling van Godel". Deze zegt dat er altijd uitspraken zijn die je niet kunt bewijzen, danwel weerleggen. Die dingen moet je dus als axioma's poneren.

Zie hier.

Dat is niet wat Gödel zegt. Je hebt altijd axiomas nodig om een theorie te kunnen bouwen. In de logica wordt gewerkt met formele theorieën (een verzameling van gevolgtrekkingen uit een kleinere verzameling axiomas) en met wiskundige structuren die een model zijn van de betreffende theorie. Zo vormen de gehele getallen bijvoorbeeld een model van de theorie die is opgebouwd op de axiomas van de groepentheorie maar er zijn nog veel meer modellen van deze theorie. Als je een uitspraak doet in de formele theorie dan is die uitspraak voor een bepaald model waar of onwaar. Bij een ander model kan dat echter anders liggen (de groep kan bijvoorbeeld eindig of oneindig zijn) en in zo'n geval bevat de theorie uitspraken waarvan niet kan worden bewezen dat ze juist zijn maar ook niet dat ze onjuist zijn. Bij een theorie van de natuurlijke getallen is dat ongewenst: je wilt een theorie hebben waarin je van iedere uitspraak kunt bewijzen of hij waar is of onwaar. De stelling van Gödel zegt dat een dergelijke theorie niet recursief is wat zoveel wil zeggen dat er geen "eenvoudige" methode is om te beslissen of een uitspraak waar is of onwaar. Omgekeerd is iedere theorie die wel recursief is onvolledig (er zijn uitspraken die buiten de theorie vallen) en met name het bewijs van de consistentie van de natuurlijke getallen is niet bewijsbaar als de theorie maar voldoende sterk is.

Elmo schreef:

Math schreef:Dat is zeker wel bekend hoor! Het behoort tot de elementaire getaltheorie en is niet zo eenvoudig en wordt daarom vaak weggelaten bij studies. Helaas...

Wat leuk (apart)! Hoe bewijs je dit?

Ik dacht namelijk dat dit gewoon 1 van de axioma's van de natuurlijke getallen is ("voor elke x, bestaat er een opvolger: x+1")...

Ja, precies weet ik het ook niet (helaas!), maar een van mijn docenten heeft me hierover wel ooit eens wat laten zien. Wat Bert hierboven beschrijft komt me trouwens wel bekend voor, maar ik kan me herinneren dat het wel een stuk langer was...

Klopt ik heb alleen maar een schets gegeven. Met name het bewijs van de consistentie van de definitie van de optelling vraagt de nodige aandacht.

Klopt ik heb alleen  maar een schets gegeven. Met name het bewijs van de consistentie van de definitie van de optelling vraagt de nodige aandacht.

Klopt, dat bedoel ik, maar ik maak hier dus uit op dat ook jij het volledige bewijs niet voorhanden hebt?

Ik dacht dat 0, 1 en ondeindig basis voor alles was?

Anonymous schreef:Ik dacht dat 0, 1 en ondeindig basis voor alles was?

[/list]

Waar baseer je dat op?

Bert schreef:Klopt ik heb alleen  maar een schets gegeven. Met name het bewijs van de consistentie van de definitie van de optelling vraagt de nodige aandacht.

Klopt, dat bedoel ik, maar ik maak hier dus uit op dat ook jij het volledige bewijs niet voorhanden hebt?

Nee dat heb ik inderdaad niet. Ik moet er ook bij zeggen dat ik het vanuit puur wiskundig oogpunt ook nooit bijster interessant heb gevonden (de overgang van gehele getallen naar rationele getallen en van daar naar reële getallen en complexe getallen had meer mijn aandacht).