Algemeen:
We hebben een matrix A en matrix B is uit matrix A verkregen door een veelvoud van een kolom bij een andere kolom op te tellen.
Stel dat de i-de kolom de kolom was waarbij een veelvoud van een andere kolom is opgeteld, dan ontwikkelen we de determinant van B naar de i-de kolom:
\(\det(B) = \sum_{l=1}^n b_{il}B_{il}\)
\(\Longleftrightarrow\)
\(\det(B) = \sum_{l=1}^n (a_{il} + k\cdot a'_{il})B_{il}\)
(a'ij is het element van de kolom waarvan een veelvoud wordt opgeteld bij de i-de kolom)
\(\Longleftrightarrow\)
\(\det(B) = \sum_{l=1}^n a_{il}B_{il} + k\cdot a'_{il}B_{il}\)
(distributiviteit van de vermenigvuldiging t.o.v. de optelling)
\(\Longleftrightarrow\)
\(\det(B) = \sum_{l=1}^n a_{il}A_{il} + k\cdot a'_{il}A_{il}\)
(Ail = Bil, omdat de i-de kolom telkens geschrapt wordt bij het berekenen van de cofactor)
\(\Longleftrightarrow\)
\(\det(B) = \sum_{l=1}^n a_{il}A_{il} + 0\)
(de determinant "berekenen" door de elementen van de ene rij te vermenigvuldigen met de cofactoren van een andere rij levert 0 op)
\(\Longleftrightarrow\)
\(\det(B) = \det(A) + 0\)
(andere schrijfwijze)
\(\Longleftrightarrow\)
\(\det(B) = \det(A)\)
(0 is het neutraal element van de optelling)
QED
PS: Het is al een tijdje geleden dat ik nog bezig ben geweest men matrices en determinanten, dus ik hoop dat ik geen ernstige fouten heb gemaakt.
EDIT: Ik moest even weg en ik zie dat Morzon en Lucas N in de tussentijd al geholpen hebben. Ik laat mijn bewijs toch maar even staan (zo weet ik meteen of het correct is).
a1.
