Axioma's

kotje

Ik neem als voorbeeld de Analyse (Calculus). Dit is een theorie en een theorie steunt op axioma's.

Ik vraag me nu af kan men de axioma's opnoemen waarop de Analyse steunt?

TD

Het is lastig om te zeggen op welke axioma's een zekere tak van de wiskunde precies steunt. De verschillende deelgebieden van de wiskunde zijn erg met elkaar verstrengeld. Men heeft getracht wiskunde helemaal op te bouwen, vertrekkend van een aantal axioma's. Zoals je weet (het kwam een tijd terug aan bod op het forum), weten we sinds Gödel van de onvolledigheidsstellingen...

In een poging om de hele wiskunde vanuit een gelijke basis op te bouwen, vertrok men van de verzamelingenleer. Hiervoor worden de axioma's van Zermelo en Frankel gebruikt. Als je hier het keuzeaxioma aan toevoegd, krijg je de ZFC-axiomatiek, van waaruit het grootste deel van de gangbare wiskunde kan worden opgebouwd. De meeste takken van de wiskunde kan je in essentie dus herleiden naar verzamelingen(leer).

kotje

Ik neem nu eens het continuïteitsaxioma, dat beweert dat de punten op een as een bijectie vormen met de reële getallen, kan men niet bewijzen en heeft men er later bijgevoegd als axioma. Als ik het goed begrijp liggen de axioma's van een wiskundige theorie niet vast, maar kunnen er in de toekomst nieuwe bijkomen.

EvilBro

Als ik het goed begrijp liggen de axioma's van een wiskundige theorie niet vast, maar kunnen er in de toekomst nieuwe bijkomen.

Dat begrijp je niet (helemaal) goed. "Wiskunde" is niet 1 ding. Het is meer een manier van werken. Andere axioma's leiden tot andere wiskunde. ECHTER! de axioma's voor EEN wiskundige theorie liggen vast. Dit is namelijk wat de theorie betekenis geeft. Voorbeeld: 1 delen door 2 heeft geen betekenis als je werkt met enkel de axioma's voor natuurlijke getallen. Bij reeele getallen gaat het echter prima. Het is natuurlijk wel mogelijk om een wiskundige theorie van de ene soort wiskunde naar de andere wiskunde te verplaatsen en dat die theorie dan nog steeds betekenis heeft.

kotje

Dus als men in een bepaalde wiskundige theorie botst op een stelling(waarheid), die men niet kan bewijzen dan voegt men dit toe als axioma aan de oude theorie en krijgt men een nieuwe theorie, die de oude theorie omvat. Daar kan ik mee leven. Dit komt goed overeen met de theoretische ntuurkunde. En zo is de wiskunde nooit af.

kotje

Volgens Gödel zijn er bv. in de theorie van de natuurlijke getallen stellingen, die niet waar zijn, die men toch kan bewijzen.

Kent er iemand toevallig zo'n stelling?

EvilBro

Volgens Gödel zijn er bv. in de theorie van de natuurlijke getallen stellingen, die niet waar zijn, die men toch kan bewijzen.

Dat is onjuist. Gödel zegt dat er twee opties zijn: of een systeem is consistent en onvolledig, of het is inconsistent. Peano's axioma's zijn consistent, dus hetgeen waar je om vraagt is niet te geven.

Kanttekening: Gödel had het enkel over omega-consistente formele systemen. Zijn stelling is echter gegeneraliseerd.

Nog een: Er zijn mensen die hier mijn inziens rare ideeen over hebben.

TD

...en heeft men er later bijgevoegd als axioma. Als ik het goed begrijp liggen de axioma's van een wiskundige theorie niet vast, maar kunnen er in de toekomst nieuwe bijkomen.

Neem mijn eerder voorbeeld van ZF voor de verzamelingenleer. Het keuzeaxioma bleek onafhankelijk van deze axioma's en kan dus toegevoegd worden, hetgeen leidt tot ZFC.

Lucas N

kotje schreef:Volgens Gödel zijn er bv. in de theorie van de natuurlijke getallen stellingen, die niet waar zijn, die men toch kan bewijzen.

Kent er iemand toevallig zo'n stelling?

De stelling :

"Deze stelling is niet te bewijzen binnen de axioma's van de natuurlijke getallen stellingen."

Is die stelling waar of bewijsbaar ?

kotje

Nog zo iets:

De eerste onvolledigheidsstelling stelt dat ieder axiomatisch wiskundig systeem dat voldoende krachtig is om alle basiseigenschappen van de natuurlijke getallen te bewijzen, hetzij onvolledig is (dat wil zeggen dat er ware uitspraken zijn die niet bewezen kunnen worden), hetzij inconsistent is (dat wil zeggen dat er onware uitspraken zijn die wel bewezen kunnen worden). Anders geformuleerd zal ieder consistent axiomatisch systeem van voldoende kracht om de getaltheorie in uit te drukken, stellingen kennen, die noch bewezen, noch ontkracht kunnen worden binnen dat systeem, en dus onbeslisbaar zijn.

Om dit te bewijzen construeert Gödel een zin Z in de formele taal van een axiomatisch systeem A die over zichzelf beweert: Z is niet bewijsbaar in A. Als deze zin waar is, dan is hij dus niet bewijsbaar (want dat is wat hij beweert). Maar dan is een ware zin niet bewijsbaar, en is het systeem A dus onvolledig. Is de zin echter niet waar, dan is hij dus wel bewijsbaar, en is er een onwaarheid bewijsbaar in A. In deze simpele formulering vertoont de zin Z een sterke gelijkenis met de leugenaarsparadox.

EvilBro

Bronvermelding! (dus geef deze link).

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Axioma's

Axioma's

Re: Axioma's

Re: Axioma's

Re: Axioma's

Re: Axioma's

Re: Axioma's

Re: Axioma's

Re: Axioma's

Re: Axioma's

Re: Axioma's

Re: Axioma's