Springen naar inhoud

E^x is uniek


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Kristofgr

    Kristofgr


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 december 2007 - 02:05

Hey,

ik zoek een bewijs(zo volledig mogelijk uitgewerkt) dat het fet dat (e^x)'=e^x uniek is

Op het forum vond ik reeds : http://www.wisfaq.nl...?id=2921&j=2002

Deze site zet me wel op de goede weg maar ik wil een volledig uitwerking ^^

Ben namenlijk bijna zeker dat de leraar dit maandag op men examen gaat vragen
(hij gaat nogal prat op dit feit en vorig jaar heeft hij het ook reeds gevraagd in de toenmalige 6es)

Ik heb reeds vrij eenvoudig kunnen bewijzen dat (e^x)'=e^x

Nu moet ik dus nog bewijzen dat dit uniek is,
ik citeer:
"En bovendien: je kunt aantonen dat er geen enkele andere functie bestaat waarvan de grafiek door (0,1) gaat en waarbij de afgeleide ook gelijk is aan de functie zelf.
Het feit dat de e-machtsfunctie en zijn afgeleide functie aan elkaar gelijk zijn is dus uniek te noemen. "

Kan iemand dit even wat vlotter vertalen en eventueel een volledig bewijs geven

Ik vind trouwens dat die site zich wat tegenspreekt:
Het is juist omwille van het feit dat de functie door (0,1) met hellingsgraad 1 gaat dat de afgeleide= ...
Het is dan dus niet meer noodzakelijk aantetonen dat er geen andere functie is waarbij afgeleide= ...
We moeten gewoon bewijzen dat er geen andere functie door (0,1) gaat met hellingsgraad 1
maar hoe doe je dit het rapst ?


Of indien iemand een betere/simpelere manier kent om te bewijzen dat de eigenschap uniek ...

Dank bij voorbaat

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 december 2007 - 02:46

We moeten gewoon bewijzen dat er geen andere functie door (0,1) gaat met hellingsgraad 1

Nee hoor. Tegenvoorbeeld:
LaTeX
Hiervoor geldt dat zowel de functiewaarde als de afgeleide in x=0 gelijk is aan 1.
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#3

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 december 2007 - 09:32

Nee hoor. Tegenvoorbeeld:
LaTeX


Hiervoor geldt dat zowel de functiewaarde als de afgeleide in x=0 gelijk is aan 1.

Volgens mij bedoelt hij dat de functie door (0,1) moet gaan en overal gelijk aan zijn eigen afgeleide moet zijn (niet alleen in x=0).
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#4

Kristofgr

    Kristofgr


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 december 2007 - 09:51

Nee hoor. Tegenvoorbeeld:
LaTeX


Hiervoor geldt dat zowel de functiewaarde als de afgeleide in x=0 gelijk is aan 1.


Het moet dus overal gelijk stijgen he,
sorry even verkeerd uitgedrukt ....

Iemand een idee hoe het dan wel moet ?

#5

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 december 2007 - 13:04

Nu moet ik dus nog bewijzen dat dit uniek is,
ik citeer:
"En bovendien: je kunt aantonen dat er geen enkele andere functie bestaat waarvan de grafiek door (0,1) gaat en waarbij de afgeleide ook gelijk is aan de functie zelf.
Het feit dat de e-machtsfunctie en zijn afgeleide functie aan elkaar gelijk zijn is dus uniek te noemen. "

Subtiel detail: er voldoen oneindig veel functies aan deze eigenschap!
Namelijk alle (exponentiŽle) functies van de vorm: f(x) = c.e^x.

Het is nog maar de vraag wat je leraar precies verwacht...

Je zoekt functies y = f(x) zodat y' = y, dus dy/dx = y.
Herschrijf: dy/y = dx, dus na integratie: ln|y| = x+C.
Los dit nu op naar y.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#6

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 december 2007 - 14:17

Het moet dus overal gelijk stijgen he,

Dat doet jķist mijn voorbeeld: mijn functie stijgt overal met helling 1 :D
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#7

Kristofgr

    Kristofgr


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 december 2007 - 14:22

Subtiel detail: er voldoen oneindig veel functies aan deze eigenschap!
Namelijk alle (exponentiŽle) functies van de vorm: f(x) = c.e^x.

Het is nog maar de vraag wat je leraar precies verwacht...

Je zoekt functies y = f(x) zodat y' = y, dus dy/dx = y.
Herschrijf: dy/y = dx, dus na integratie: ln|y| = x+C.
Los dit nu op naar y.



omdat het toch niet te moeilijk kan zijn (het moet zonder deze info toch ook te doen zijn)
dacht ik aan:

Voor alle x0 element van R
f'(x0)= f(x0)
Als

f(x0)= lim voor h gaande naar 0 (f(h+x0) - f(x0))/h

Indien je dit oplost kom je na wat uitwerken aan de x0e macht van de rij die e als als limiet voor h naar 0 heeft
(1+1/h)^h

Ik denk dus dat ik het gevonden heb ?

Ps: sorry indien dit onduidlijk is maar ben niet echt gewoon aan wiskunde op de pc

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 december 2007 - 14:41

Wat bedoel je precies met dat "oplossen"?

Opmerking: de exponentiŽle functie y = e^x ligt wťl uniek vast met een extra voorwaarde.
Het is de enige functie (R naar R) die voldoet aan y'(x) = y(x) met y(0) = 1, dan is c = 1.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Rogier

    Rogier


  • >5k berichten
  • 5679 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 december 2007 - 09:54

Wat je kunt doen is omgekeerd redeneren, en proberen een functie te construeren, ervan uitgaande dat f'(x)=f(x) en f(0)=1. Heb je wel eens gehoord van Taylorreeksen? Dat komt van een stelling die zegt dat als een functie oneindig vaak differentieerbaar is in een punt (in dit geval nemen we 0, al is jouw functie overal oneindig vaak differentieerbaar, want f'(x)=f(x)), dan:

LaTeX

Hierbij is LaTeX de n-de afgeleide, en omdat f(0)=1 is de n-de afgeleide daar ook 1 voor iedere n.

Kortom, als x voldoet aan f'(x)=f(x) en f(0)=1 dan moet gelden:
LaTeX
en dat is precies e^x.
In theory, there's no difference between theory and practice. In practice, there is.

#10

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 december 2007 - 13:55

Dat bewijst natuurlijk geen uniciteit: misschien bestaat een niet-analytische oplossing (die bestaat niet, maar dergelijke krachtige stellingen lijken me hier overbodig).

#11

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24051 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 december 2007 - 14:05

Gegeven de voorwaarde y'(x) = y(x) met y(0) = 1 en een zekere oplossing y = f(x).
Stel dat deze oplossing niet uniek is en dat er dus ook nog een y = g(x) bestaat.

Definieer h(u) = f(u)g(x-u), dan is h'(u) = f'(u)g(x-u)-f(u)g'(x-u) = f(u)g(x-u)-f(u)g(x-u) = 0.
Uit het feit dat h'(u) = 0 volgt dat h(u) constant is, zodat in het bijzonder geldt: h(0) = h(x).
Hieruit volgt f(0)g(x) = f(x)g(0), maar f(0) = g(0) = 1, zodat f(x) = g(x), ze zijn gelijk.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#12

The Black Mathematician

    The Black Mathematician


  • >100 berichten
  • 150 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 18 december 2007 - 16:35

Een soortgelijke oplossing:

We willen bewijzen dat LaTeX de enige functie is die voldoet aan LaTeX en LaTeX .

Stel LaTeX is een andere functie die hieraan voldoet. Bekijk het quotient LaTeX . We berekenen van dit quotient de afgeleide met de quotientregel:
LaTeX

Het quotient heeft 0 als afgeleide, dus het quotient moet gelijk zijn aan een constante c.
LaTeX
We vullen nu LaTeX voor LaTeX in. We krijgen dan
LaTeX .
Dus LaTeX , dus LaTeX en derhalve geldt LaTeX .
Hiermee is uniciteit aangetoond.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures