Convergentie oneigenlijke integraal.

Bert F

Waarom mag men daar als ondergrens nul nemen? uit 6.1 volgt toch convergentie vanaf een bepaalde index? Groeten.

TD

De rood onderlijnde integraal voldoet ook niet aan 6.1, ik bedoel: die is niet naar boven af te schatten door epsilon. Die integraal is een functie van n en is als u(n) te beschouwen als een rij. Wat je uit 6.1 weet, is dat de termen uit die rij willekeurig dicht bij elkaar komen te liggen, als je T en S voldoende ver neemt. Dat is precies de definitie van een Cauchyrij (zoek die evt terug op).

Bert F

Je maakt dus een nieuwe reeks, waarbij die n staat voor de n-de term. De nieuwe reeks is zo gekozen dat je als ondergrens nul kan nemen. Maw het start punt van die reeks ligt ver genoeg. Klopt dat? Groeten.

TD

Je maakt een nieuwe rij (dat is niet hetzelfde als een reeks!), u(n) waarbij n die bovengrens is. Het verschil tussen twee opeenvolgende termen van die rij, is:

\(\int_0^{n + 1} {f\left( {t,x} \right) \,\mbox{d}t} - \int_0^n {f\left( {t,x} \right)\,\mbox{d}t} = \int_n^{n + 1} {f\left( {t,x} \right)\,\mbox{d}t} \)

En het is precies dit verschil, dat willekeurig klein gemaakt kan worden door n voldoende groot te nemen, want dan speelt n de rol van S en n+1 de rol van T. Gegeven is dat je dit verschil kleiner kan maken dan een zekere epsilon, hetgeen je precies nodig hebt om te besluiten dat u(n) een Cauchyrij is.

Bert F

Wat is het verschil tussen een reeks en een rij?

TD

Bert! Dat zou je na Analyse I en II toch mogen weten

De rij u(n) = n is 1, 2, 3, 4, ...

De overeenstemmende reeks is:

\(\sum\limits_{i = 1}^{ + \infty } {u\left( i \right)} = \sum\limits_{i = 1}^{ + \infty } i = 1 + 2 + 3 + 4 + \cdots \)

In dit geval natuurlijk een divergente reeks.

Bert F

Ja natuurlijk. Maar ja zo'n reeks is voor mij opnieuw een rij der partiële sommen.

Bedankt ik begrijp het.

TD

De reeks is gedefinieerd als limiet van de rij der partiële sommen, dat is nog iets anders dan zelf een rij.

Je hebt het volgens mij dus wel begrepen, maar let goed op met je terminilogie, het is "subtiel"...

Bert F

maar let goed op met je terminilogie, het is "subtiel"...

Tja mee leren leven zeker.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Convergentie oneigenlijke integraal.

Convergentie oneigenlijke integraal.

Re: Convergentie oneigenlijke integraal.

Re: Convergentie oneigenlijke integraal.

Re: Convergentie oneigenlijke integraal.

Re: Convergentie oneigenlijke integraal.

Re: Convergentie oneigenlijke integraal.

Re: Convergentie oneigenlijke integraal.

Re: Convergentie oneigenlijke integraal.

Re: Convergentie oneigenlijke integraal.