Springen naar inhoud

Waterstofatoom en verwachtingswaarden


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 december 2007 - 18:24

In een opgave over een waterstofatoom wordt gevraagd de verwachtingswaarde van r te berekenen, en van de potentiaal V.
Ter info: De potentiaal wordt gegeven door de wet van Coulomb: LaTeX

De gegeven golffunctie is een lineaire combinatie van twee stationaire toestanden LaTeX , die het product zijn van een functie afhankelijk van r en een functie afhankelijk van phi en theta (de bolfuncties), maar dat is niet zo belangrijk denk ik.

LaTeX , met r^2 sin t de Jacobiaan van bolcoordinaten. In dit geval komt hier LaTeX uit.

Nu is LaTeX

Het moge duidelijk zijn dat dit een ander antwoord oplevert dan LaTeX . Om precies te zijn:
LaTeX en LaTeX
LaTeX is immers niet gelijk aan LaTeX (om het even cru te zeggen).
Maar wat is de fysische verklaring hiervan?

Waarom is de verwachtingswaarde van de potentiaal niet gelijk aan de potentiaal met r de verwachtingswaarde van r?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 december 2007 - 15:18

Wanneer je de gemidelde potentiaal ondervonden door een deeltje in een orbitaal berekent, ken je extra gewicht toe aan de plaatsen waar de potentiaal (in absolute waarde) het grootst is. Daardoor bekom je dus een lagere gemiddelde dan wanneer je de potentiaal neemt in het punt waar het elektron zich gemiddeld bevindt.

#3

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 18 december 2007 - 21:46

Bedankt voor je antwoord! (ik had al gehoopt dat jij zou antwoorden ;)) Toch begrijp ik het nog niet zo goed:

Wanneer je de gemidelde potentiaal ondervonden door een deeltje in een orbitaal berekent, ken je extra gewicht toe aan de plaatsen waar de potentiaal (in absolute waarde) het grootst is.

Op welke manier uit zich dat? Of zit dit in de definitie van een verwachtingswaarde?
Is het niet zo dat je extra gewicht toekent aan plaatsen waar V groter is (dus niet alleen de grootste waarde), oftewel hoe groter V hoe meer gewicht?

Daardoor bekom je dus een lagere gemiddelde dan wanneer je de potentiaal neemt in het punt waar het elektron zich gemiddeld bevindt.

Waarom lager?
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#4

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 december 2007 - 02:37

De wiskunde is natuurlijk ok, en de uitleg probeert de wiskunde wiskundig interpreteren (maar ik ben niet helemaal zeker of dat is wat je zoekt).

We vergelijken
LaTeX (1)
met LaTeX (2),
met LaTeX een willekeurige genormaliseerde functie.

Kijk naar formule (1). Stel dat V(x) in absolute waarde (héél) groot is rond x_0, en elders (héél) klein is, dan geldt
LaTeX . (met LaTeX de dracht van de potentiaal). Deze is dus evenredig met de potentiaal op de positie waar deze het grootst is. In een minder extreme situatie is het zo dat <V> correspondeert met V(x_eff), met LaTeX niet de gemiddelde positie van x, maar een positie die dichter bij het maximum van (de absolute waarde van) V ligt.

Wat ik dus wil zeggen: in (1) zijn vooral de posities waar V het grootst is van belang. Natuurlijk gaat het om poolcoördinaten (maar de uitleg laat zich eenvoudig uitbreiden) en is voorgaande uitleg geen rigoureuze wiskunde, maar hopelijk is hij wat je zoekt.

hoe groter V hoe meer gewicht?

inderdaad dus. of iets beter: hoe groter V in absolute waarde, hoe meer gewicht ;)

Waarom lager?

omdat de potentiaal negatief is, dus krijg je voornamelijk een extra weging negatieve bijdragen

#5

Phys

    Phys


  • >5k berichten
  • 7556 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 december 2007 - 20:04

Bedankt voor de toelichting, eendavid!

Ik ga het nog even op een rijtje zetten voor mezelf; inderdaad zoek ik een soort inzichtelijk, fysisch argument. Ik had vandaag nog een discussie met studiegenoten over wat nu precies het verschil is tussen een fysische en een mathematische uitleg. Erg lastig, omdat de twee zo erg "entwined" zijn met elkaar.
Naïef zou je dus een direct antwoord willen op de vraag: "waarom is de gemiddelde potentiaal niet díe potentiaal op punten waar het elektron gemiddeld is?" Aan de andere kant kun je net zo goed vragen: waarom wel?

Zeker als je een redelijk "vage" vraag krijgt als: "verklaar de verschillen" :D
Never express yourself more clearly than you think.
- Niels Bohr -

#6

eendavid

    eendavid


  • >1k berichten
  • 3751 berichten
  • VIP

Geplaatst op 19 december 2007 - 20:08

Hoe dan ook weet je al lang dat extreme waarden een belangrijke invloed hebben op het gemiddelde. Dat is wat je hier ziet.

#7

Math-E-Mad-X

    Math-E-Mad-X


  • >1k berichten
  • 2383 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 28 december 2007 - 13:06

Als je de potentiaal in de verwachtingswaarde van r uitrekent, dan doe je eigenlijk net alsof het deeltje zich 100% zeker op de positie <r> bevindt. Terwijl het idee van QM nou juist is dat het deeltje ruimtelijk uitgespreid is. Je wil dus een gewogen gemiddelde hebben over alle posities waar het elektron is.

Als je alleen de potentiaal op positie <r> zou meerekenen dan gooi je alle quantummechanische effecten weg, het elektron zou zich als een klassiek deeltje gedragen, hij ondervindt immers alleen de potentiaal op positie <r>, dus zou het deeltje zich fysisch ook exact op positie <r> bevinden.

Veranderd door Math-E-Mad-X, 28 december 2007 - 13:10

while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures