Pagina 1 van 2
Dubbelintegraal omzetten
Geplaatst: za 22 dec 2007, 14:25
door jan_alleman
Ik moet
\(\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{y}^{\sqrt{4-y^{2}}}dxdy\)
berekenen door over te gaan naar poolcoördinaten.
dus x= r cos(a), y=r sin(a)
y=< x =<(4-y²)^0.5 en 0=< y =< wortel(2) (dus ook x>=0)
dit betekent 0=< r =< 2 en 0=< a =< 90°
Klopt dit al ?
Re: Dubbelintegraal omzetten
Geplaatst: za 22 dec 2007, 15:01
door jan_alleman
edit: de eerste bovengrens moet wortel2 zijn.
Re: Dubbelintegraal omzetten
Geplaatst: za 22 dec 2007, 15:05
door Morzon
Heb je al een tekening gemaakt? Bekijk de grenzen van de hoek nog eens.
Re: Dubbelintegraal omzetten
Geplaatst: za 22 dec 2007, 15:58
door jan_alleman
Ik had geen tekening gemaakt, idd met tekening wordt het keisimpel, dan krijg ik -3PI/4=<a=<PI/4.
Re: Dubbelintegraal omzetten
Geplaatst: za 22 dec 2007, 16:15
door jan_alleman
Maar hoe duid je het gebied y>= wortel(3X) aan ?
Voor x >= 0 is het evident, maar als x < 0 ??
Re: Dubbelintegraal omzetten
Geplaatst: za 22 dec 2007, 17:12
door TD
Maak altijd een duidelijke schets van het integratiegebied.
Volgens mij ligt dat helemaal in het eerste kwadrant...
De hoek is dan erg eenvoudig en r kan je ook direct zien.
Re: Dubbelintegraal omzetten
Geplaatst: za 22 dec 2007, 17:19
door jan_alleman
Ik bekeek het verkeerd, maar hoe kan je r dan directt zien, je hebt amper info erover. of bedoel dat r gewoon oneindig is ?
Re: Dubbelintegraal omzetten
Geplaatst: za 22 dec 2007, 17:22
door TD
Teken een assenstelsel en zet de grenzen voor x en y erop:
- voor y: de lijn y = 0 en de lijn y = sqrt(2), dat zijn gewoon horizontale lijnen.
- voor x: de lijn x = y (eerste bissectrice) en x = sqrt(4-y²).
Dat laatste is een (positieve) halve cirkel, middelpunt de oorsprong en straal 2.
Het ingesloten gebied is het te integratiegebied, wat zijn de grenzen voor r en t?
Re: Dubbelintegraal omzetten
Geplaatst: za 22 dec 2007, 17:28
door jan_alleman
Maar mn vraag met wortel(3x) heeft eigenlijk niets te maken met de oorspronkelijke vraag.
Maar ik heb gedaan wat je zei en ik kwam uit 0 =< r =< 2 en -3pi/4=<a=<pi/4 klopt dit ? (ik heb dit eigenlijk al eerder gepost)
Re: Dubbelintegraal omzetten
Geplaatst: za 22 dec 2007, 17:30
door TD
Dat klopt niet, daarom dat ik je opnieuw vertelde wat je allemaal moest schetsen.
Zoals ik zei: het gebied ligt volledig in het eerste kwadrant, dan kan zo'n hoek toch niet?
Re: Dubbelintegraal omzetten
Geplaatst: za 22 dec 2007, 17:43
door Morzon
Ik had al een tekening gemaakt voor het geval dat..
Dus hier dan de tekening.
Re: Dubbelintegraal omzetten
Geplaatst: za 22 dec 2007, 17:44
door jan_alleman
ahja was te snel geweest dan wordt het tussen 0 en pi/4
edit: maar als de eerste bovengrens 1 was wat dan ?
Re: Dubbelintegraal omzetten
Geplaatst: za 22 dec 2007, 17:52
door Morzon
Dat klopt. De helling van x=y is 1 en arctan(1)=1/4pi. Zo zou je het ook kunnen zien, maar een tekening is meestal duidelijker.
jan_alleman schreef:ahja was te snel geweest dan wordt het tussen 0 en pi/4
edit: maar als de eerste bovengrens 1 was wat dan ?
Bedoel je:
\(\int_0^{1} \int_y^{\sqrt{4-y^2}} \ dx \ dy\)
?
Re: Dubbelintegraal omzetten
Geplaatst: za 22 dec 2007, 17:55
door jan_alleman
ja
Re: Dubbelintegraal omzetten
Geplaatst: za 22 dec 2007, 17:59
door Morzon
Ik zou dan geen poolcoordinaten gebruiken, dus dan kan je gewoon zonder iets te veranderen direct integreren. Zie ook de tekening hieronder: