Dubbelintegraal omzetten

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Berichten: 394

Dubbelintegraal omzetten

Ik moet
\(\int\limits_{0}^{2}\int\limits_{y}^{\sqrt{4-y^{2}}}dxdy\)
berekenen door over te gaan naar poolcoördinaten.

dus x= r cos(a), y=r sin(a)

y=< x =<(4-y²)^0.5 en 0=< y =< wortel(2) (dus ook x>=0)

dit betekent 0=< r =< 2 en 0=< a =< 90°

Klopt dit al ?

Berichten: 394

Re: Dubbelintegraal omzetten

edit: de eerste bovengrens moet wortel2 zijn.

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Dubbelintegraal omzetten

Heb je al een tekening gemaakt? Bekijk de grenzen van de hoek nog eens.
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Berichten: 394

Re: Dubbelintegraal omzetten

Ik had geen tekening gemaakt, idd met tekening wordt het keisimpel, dan krijg ik -3PI/4=<a=<PI/4.

Berichten: 394

Re: Dubbelintegraal omzetten

Maar hoe duid je het gebied y>= wortel(3X) aan ?

Voor x >= 0 is het evident, maar als x < 0 ??

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Dubbelintegraal omzetten

Maak altijd een duidelijke schets van het integratiegebied.

Volgens mij ligt dat helemaal in het eerste kwadrant...

De hoek is dan erg eenvoudig en r kan je ook direct zien.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 394

Re: Dubbelintegraal omzetten

Ik bekeek het verkeerd, maar hoe kan je r dan directt zien, je hebt amper info erover. of bedoel dat r gewoon oneindig is ?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Dubbelintegraal omzetten

Teken een assenstelsel en zet de grenzen voor x en y erop:

- voor y: de lijn y = 0 en de lijn y = sqrt(2), dat zijn gewoon horizontale lijnen.

- voor x: de lijn x = y (eerste bissectrice) en x = sqrt(4-y²).

Dat laatste is een (positieve) halve cirkel, middelpunt de oorsprong en straal 2.

Het ingesloten gebied is het te integratiegebied, wat zijn de grenzen voor r en t?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 394

Re: Dubbelintegraal omzetten

Maar mn vraag met wortel(3x) heeft eigenlijk niets te maken met de oorspronkelijke vraag.

Maar ik heb gedaan wat je zei en ik kwam uit 0 =< r =< 2 en -3pi/4=<a=<pi/4 klopt dit ? (ik heb dit eigenlijk al eerder gepost)

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Dubbelintegraal omzetten

Dat klopt niet, daarom dat ik je opnieuw vertelde wat je allemaal moest schetsen.

Zoals ik zei: het gebied ligt volledig in het eerste kwadrant, dan kan zo'n hoek toch niet?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Dubbelintegraal omzetten

Ik had al een tekening gemaakt voor het geval dat..

Dus hier dan de tekening.
Bijlagen
Grafiek.JPG
Grafiek.JPG (12.52 KiB) 232 keer bekeken
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Berichten: 394

Re: Dubbelintegraal omzetten

ahja was te snel geweest dan wordt het tussen 0 en pi/4

edit: maar als de eerste bovengrens 1 was wat dan ?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Dubbelintegraal omzetten

Dat klopt. De helling van x=y is 1 en arctan(1)=1/4pi. Zo zou je het ook kunnen zien, maar een tekening is meestal duidelijker.
jan_alleman schreef:ahja was te snel geweest dan wordt het tussen 0 en pi/4

edit: maar als de eerste bovengrens 1 was wat dan ?
Bedoel je:
\(\int_0^{1} \int_y^{\sqrt{4-y^2}} \ dx \ dy\)
?
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Berichten: 394

Re: Dubbelintegraal omzetten

ja

Gebruikersavatar
Berichten: 2.003

Re: Dubbelintegraal omzetten

Ik zou dan geen poolcoordinaten gebruiken, dus dan kan je gewoon zonder iets te veranderen direct integreren. Zie ook de tekening hieronder:
Bijlagen
Grafiek1.JPG
Grafiek1.JPG (12.55 KiB) 231 keer bekeken
I was born not knowing and have only a little time to change that here and there.

Reageer