Springen naar inhoud

probleem met partieel integreren (Help!!!)


  • Log in om te kunnen reageren

#1


  • Gast

Geplaatst op 14 maart 2005 - 21:26

Ik heb een probleem met het oplossen van de volgende integraal:
:shock: 1/(x Ln(x)) dx.
ik heb twee manieren gebruikt deze integraal op te lossen
1) na logisch nadenken heb ik gevonden heb ik gevonden
:?: 1/(x Ln(x)) dx = Ln(Ln(x))
2) mijn tweede manier was door middel van partieel integreren:
:oops: f'g dx= fg- :?: fg'dx
f'= 1/x, f=Ln(x)
g=1/Ln(x), g'=-1/(x(Ln(x)^2)
dus :?: 1/(x Ln(x)) dx = Ln(x) 1/(Ln(x) - ;) Ln(x) (-1/(x(Ln(x))^2) = 1+ ;) (1/(x Ln(x))
in woorden komt hier dus uit dat de integraal gelijk is aan 1+ die integraal:?
kan iemand mij uitleggen wat ik fout heb gedaan?
(excuses voor de eventuele notatie fouten)
bvd

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 maart 2005 - 21:39

PartiŽle integratie is hier helemaal niet nodig.
Je hebt goed logisch nagedacht, maar het is wiskundig ook wel uit te leggen.

Je hebt INT 1/(xlnx) dx
Schrijf (of zie) het even als: INT (1/x)/lnx dx

Nu heb je een integraal van de vorm INT f'/f dx waarbij de afgeleide van de noemer de teller is, met als primitieve de ln van de noemer, i.c. ln(lnx)

#3


  • Gast

Geplaatst op 14 maart 2005 - 21:50

dat was ook mijn redenatie, maar mn vraag is waarom partieel integreren niet werkt in dit geval...

#4


  • Gast

Geplaatst op 15 maart 2005 - 08:17

Je vergeet de integratieconstante in deze stelling!!!
Als je er C bij optelt, krijg je tenslotte C=-1 (en je bent niets opgeschoten).
Je integreert nl: f'g+g'f=(fg)' naar x als f en g functies zijn van x.
Je ziet misschien dat dit (simpelweg) de productregel is. De partiele integratie is dus gebaseerd op de productregel bij differentieren.
Nu weet ik dat de integratieconstante bij deze stelling meestal 'vergeten' wordt, maar jij bent er nu eens tegen aan gelopen. (eigenlijk wel leuk!)

Er zit nog een fout in je antwoord van int(f'/f,x)=ln|f(x)| + C, die absoluutstrepen zijn absoluutstrepen zijn noodzakelijk.
Het antwoord moet dus zijn: ln|ln(x)| + C.

#5


  • Gast

Geplaatst op 15 maart 2005 - 22:12

iedereen bedankt, maar ik heb t antwoord al;
je blijkt namelijk grenzen te moeten invullen

dus :shock: (van a tot b) 1/(x Ln(x)) = 1 ;) (van a tot b) + :?: (van a tot b) 1/(x Ln(x))

en hierbij 1 :oops: (van a tot b) = 0 (natuurlijk)

maw, je komt niet veel verder als je gaat partieel integreren
mvg,

#6


  • Gast

Geplaatst op 16 maart 2005 - 10:23

iedereen bedankt, maar ik heb t antwoord al;
je blijkt namelijk grenzen te moeten invullen

dus  ;) (van a tot b) 1/(x Ln(x)) = 1 :shock: (van a tot b) + :?: (van a tot b) 1/(x Ln(x))

en hierbij 1 ;) (van a tot b) = 0 (natuurlijk)

maw, je komt niet veel verder als je gaat partieel integreren
mvg,


Nee, je moet ook substitutie toepassen.

u=ln(x)
du/dx=1/x
du=dx/x

Dus dan wordt je integraal int[du/u]=ln(u)=ln(ln(x)).
En dan kun je grenzen invullen. Dit werkt overigens voor alle machten van de logaritme, maar werkt natuurlijk niet voor alle machten van x.

#7

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 maart 2005 - 12:24

Nee, je moet ook substitutie toepassen.

u=ln(x)
du/dx=1/x
du=dx/x

Dus dan wordt je integraal int[du/u]=ln(u)=ln(ln(x)).
En dan kun je grenzen invullen. Dit werkt overigens voor alle machten van de logaritme, maar werkt natuurlijk niet voor alle machten van x.

Hoezo, MOET substitutie toepassen? Ik zie niet in waarom jouw antwoord een antwoord is op de vraag waarom partieel integreren hier niet werkt? Jij overlegt gewoon een andere manier en verdoezeld daarmee de oorspronkelijke vraag met een antwoord (dat correct is).
Maar een correct antwoord was al gegeven...
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#8

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 maart 2005 - 12:27

iedereen bedankt, maar ik heb t antwoord al;
je blijkt namelijk grenzen te moeten invullen

dus  ;) (van a tot b) 1/(x Ln(x)) = 1 :shock: (van a tot b) + :?: (van a tot b) 1/(x Ln(x))

en hierbij 1 ;) (van a tot b) = 0 (natuurlijk)

maw, je komt niet veel verder als je gaat partieel integreren
mvg,

Toch ben ik ook met dit "antwoord" niet tevreden. Het invullen van grenzen is voor mij geen bewijs op de vraag waarom de theorie van partieel integreren bij de gegeven formule niet werkt. Tuurlijk, we komen er wel uit door een andere manier van intergreren toe te passen, maar een argument waarom partieel integreren hier niet kan, heb ik nog niet gelezen...
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#9


  • Gast

Geplaatst op 16 maart 2005 - 12:32

Er zit nog een fout in je antwoord van int(f'/f,x)=ln|f(x)| + C, die absoluutstrepen zijn absoluutstrepen zijn noodzakelijk.
Het antwoord moet dus zijn: ln|ln(x)| + C.


Helaas moet ik hier toch weer even op wijzen (gezien de reacties erna).
Ook Florien heeft hier niet op gereageerd!

#10

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 maart 2005 - 12:36


Er zit nog een fout in je antwoord van int(f'/f,x)=ln|f(x)| + C, die absoluutstrepen zijn absoluutstrepen zijn noodzakelijk.
Het antwoord moet dus zijn: ln|ln(x)| + C.


Helaas moet ik hier toch weer even op wijzen (gezien de reacties erna).
Ook Florien heeft hier niet op gereageerd!

Ik begrijp niet zo goed waarom je nog eens extra verwijst naar je post...
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#11


  • Gast

Geplaatst op 16 maart 2005 - 17:00

Nee, je moet ook substitutie toepassen.

u=ln(x)
du/dx=1/x
du=dx/x

Dus dan wordt je integraal int[du/u]=ln(u)=ln(ln(x)).
En dan kun je grenzen invullen. Dit werkt overigens voor alle machten van de logaritme, maar werkt natuurlijk niet voor alle machten van x.

Hoezo, MOET substitutie toepassen? Ik zie niet in waarom jouw antwoord een antwoord is op de vraag waarom partieel integreren hier niet werkt? Jij overlegt gewoon een andere manier en verdoezeld daarmee de oorspronkelijke vraag met een antwoord (dat correct is).
Maar een correct antwoord was al gegeven...


Omdat je bij de stokterm altijd termen krijgt die je ook weer partieel moet integreren, en ik zo gauw geen recursief verband zie tussen die termen. Bovendien hou ik zelf altijd als regel dat je eerst substitutie toepast, en dan pas ga je kijken of je partieel kunt integreren.

#12

DVR

    DVR


  • >250 berichten
  • 581 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 maart 2005 - 17:59

De productregel zegt:

(f g)' = f'g + g'f

Ofwel:

f'g = (f g)' - g'f

Beide kanten integreren:

:?: f'g dx = ;) (f g)' dx - :shock: g'f dx

->

;) f'g dx = f g + C - :lol: g'f dx

Of, met de functie van florien:

;) 1/(x lnx) dx = lnx/lnx + C + ;) 1/(x lnx) dx

Dit zegt dus enkel dat twee primitieven van elkaar verschillen met een constante... Wat ook logisch is, als je een functie differentieert verlies je informatie (een constante term)..

In het geval dat je integratiegrenzen op geeft komt er natuurlijk geen constante meer bij, je trekt immers toch de functiewaarden van de primitieven op de grenzen van elkaar af...
De kortste weg tussen twee punten is nooit een rechte lijn...

#13

Math

    Math


  • >1k berichten
  • 1460 berichten
  • VIP

Geplaatst op 16 maart 2005 - 18:00

Nee, je moet ook substitutie toepassen.

u=ln(x)
du/dx=1/x
du=dx/x

Dus dan wordt je integraal int[du/u]=ln(u)=ln(ln(x)).
En dan kun je grenzen invullen. Dit werkt overigens voor alle machten van de logaritme, maar werkt natuurlijk niet voor alle machten van x.

Hoezo, MOET substitutie toepassen? Ik zie niet in waarom jouw antwoord een antwoord is op de vraag waarom partieel integreren hier niet werkt? Jij overlegt gewoon een andere manier en verdoezeld daarmee de oorspronkelijke vraag met een antwoord (dat correct is).
Maar een correct antwoord was al gegeven...


Omdat je bij de stokterm altijd termen krijgt die je ook weer partieel moet integreren, en ik zo gauw geen recursief verband zie tussen die termen. Bovendien hou ik zelf altijd als regel dat je eerst substitutie toepast, en dan pas ga je kijken of je partieel kunt integreren.

ik begrijp je opmerkingen.
Dat jij die volgorde hanteert is trouwens persoonlijk en geen maatstaaf.
Ik zie ook wel dat het niets opschiet om te partieel integreren, want je hebt gelijk het herhaalt zich in feite zelf en je schiet dus zelfs na n keer partieel integreren niets op. Tuurlijk, het hele concept van partieel integreren is om de basisfunctie gemakkelijker te maken. Dat is hier in feite niet van toepassing.

Ik ben alleen op zoek naar de regel, bewijs, voorwaarde die ervoor zorgt dat het hier in de soep loopt en dat de hele theorie niet werkt...
<i>Iets heel precies uitleggen roept meestal extra vragen op</i>

#14


  • Gast

Geplaatst op 24 maart 2005 - 16:57

Math, even een reactie op je laatste post.
Het is niet moeilijk aan te tonen, dat als f*g=C (een constante) er volgt f'*g=f*g', maw de methode partiŽel integreren werkt niet.

Tevens wil ik ook nog even reageren op je post van 16 maart.
Ik neem toch aan dat als ergens een fout wordt gemaakt, je deze toch moet melden zeker als die fout in volgende recties nog steeds gemaakt wordt! Of ben je van mening dat dit geen fout is ...?

#15

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 24 maart 2005 - 17:16

Gezien de (in mijn ogen) geringe ernst van de fout was het misschien niet nodig dit zo expliciet te herhalen, als Math dat bedoelde.
Dit neemt echter niet weg dat er in principe een absolute waarde moet staan uiteraard.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures