Wetenschapsforum

Hallo,

Ik zit een beetje in de knoop met de begrippen limes superior en inferior.

In mijn cursus werd het zo uitgelegd

De volgende rij werd gegeven:

a[n]=(1,-1,1,-1,1,a[2m-1]=1,a[2m]=-1,...)

u[n]:=sup{a[k]:k>=n})

v[n]:=inf{a[k]:k>=n})

De rij (u[n]) is begrensd en dalend (en volgens een zekere stelling convergeert ze);haar limiet noemt men de limes superior van de oorspronkelijke rij (a[n]);

limes sup(a[n]):= lim (u[n])

De rij (v[n]) is begrensd en stijgend (en volgens een zekere stelling convergeert ze);haar limiet noemt men de limes inferior van de oorspronkelijke rij (a[n]);

limes inf(a[n]):= lim (v[n])

Merk op dat als voor een rij de limes superior en de limes inferior samenvallen, deze rij dan wel convergent is.Ik snap hier dus niet veel van. Zou iemand mij dit aan de hand van een duidelijk voorbeeld kunnen uitleggen.

Met vriendelijke groeten,

Zie je in jouw voorbeeld wat limsup en liminf zijn?

De limsup van a(n) is gelijk aan 1, liminf is hier -1.

Soms zegt een plaatje meer dan duizend woorden:



Afbeelding komt van wikipedia, zie eventueel ook dat artikel.

Ik snap gewoon de basis niet. In dit voorbeeldje is het nog duidelijk te zien. Maar wanneer zie je dat een rij een limes superior of inferior heeft?

Daarvoor kan je bijvoorbeeld de ophopingspunten van de rij bepalen, heb je dat begrip gezien?

Ja, ik denk het wel.

Ik dacht dat dat de punten waren waar een functie (in dit geval een rij) naar toe convergeren, of ben ik verkeerd.

Niet noodzakelijk convergeren, maar willekeurig dicht erbij zijn wel steeds punten te vinden.

Beschouw de rij:

1, -3/2, 5/3, -7/4, 9/5, 11/6, -13/7, 15/8, -17/9, ...

Kan je hiervoor een voorschrift opstellen? Hoeft niet noodzakelijk.

Convergeert de rij? Wat zijn volgens jou de ophopingspunten?

Een voorschrift kan ik niet direct bedenken.Ik zie wel dat de rij convergeert naar 2 en -2.Dan zouden de ophopingspunten 2 en -2 zijn,volgens u, wat mij een volgende vraag oplevert. Om te zien of een rij een limes inferior of superior heeft, moet er dan een soort oscillatie aanwezig zijn?

Een voorschrift kan ik niet direct bedenken.Ik zie wel dat de rij convergeert naar 2 en -2.Dan zouden de ophopingspunten 2 en -2 zijn,volgens u, wat mij een volgende vraag oplevert. Om te zien of een rij een limes inferior of superior heeft, moet er dan een soort oscillatie aanwezig zijn?

Voorschrift hoeft ook niet, maar dan zag je het misschien ook daaraan.

Kan een rij twee verschillende limieten hebben? Volgens mij niet, dus ze convergeert niet!

Maar je voelt wel dat -2 en 2 speciaal zijn, daar komen termen van de rij willekeurig dicht bij.

Eigenlijk convergeert een deelrij naar -2 en een deelrij naar 2, de rij zelf is divergent.

Voor deze rij is limsup gelijk aan 2 en liminf gelijk aan -2. Als die samenvallen, convergeert de rij.

Ja ok. Ik begin het een beetje door te hebben. Maar heb je eigenlijk alleen limes superior en limes inferior in geval van oscillerende rijen?

Er moeten deelrijen zijn die convergeren naar een zekere waarden. Dat is mogelijk als je meerdere ophopingspunten hebt, binnen een rij. De grootste van alle ophopingspunten, is de limsup; de kleinste is de liminf.

Ik had in m'n vorig voorbeeld bijvoorbeeld ook nog telkens een term kunnen zetten die naar 0 convergeerde (dus drie convergente deelrijen), dan waren er 3 ophopingspunten, maar dezelfde limsup (2) en liminf (-2).

In deze gevallen zie je op het zicht dat er een lim sup en een lim inf is (doordat je op het zicht die ophopingspunten bepaalt), maar voor meer complexere rijen, ga je toch een bepaalde methode moeten hebben om die convergente deelrijen er uit te halen, waardoor je de lim inf en lim sup kunt bepalen ==>daarom dat ik dacht aan een soort oscillatie die telkens terugkwam bij rijen een lim inf en lim sup bezaten.

Het ligt eraan hoe je "oscilleren" precies bedoelt. Zie ook hier (pdf) voor voorbeelden.

Beide voorbeelden geven toch een oscillatie (trilling) weer. Als je de opeenvolgende punten verbindt krijg je toch een soort trilling rond een bepaalde as. Ik merk ook dat de aanleiding tot die oscillatie de term (-1)^n is.

Nog een kleine vraagje. Bestaat de lim sup enkel voor dalende rijen en de lim inf enkel voor stijgende rijen?

Nog een kleine vraagje. Bestaat de lim sup enkel voor dalende rijen en de lim inf enkel voor stijgende rijen?

De voorgaande voorbeelden "oscilleerden" (zoals je zelf opmerkte!), dus dat zijn toch geen dalende of stijgende rijen? En toch bestonden limsup en liminf, dus nee...