[Wiskunde] Niet-homogene differentiaalvergelijking oplossen

Koen2704

Opgave: \(\frac{d^2y}{dt^2}+3\frac{dy}{dt}+2y=t+e^{-2t}\) met initiële condities: \(y(0)=-\frac{3}{4};y'(0)=\frac{1}{2}\)

Oplossing: \(y=-e^{-2t}-te^{-2t}+e^{-t}+\frac{1}{2}t-\frac{3}{4}\)

Als homogene oplossing heb ik: \(y_h=Ae^{-2t}+Be^{-t}\)

Bij de particuliere oplossing zit ik vast. Je kiest een oplossing die gelijkt op de oplossing van de opgave (\(t+e^{-2t}\)) en je moet rekening houden dat je niet de dezelfde vorm hebt als in de homogene oplossing (methode van de onbepaalde coëfficiënten)

Ik heb al gekozen: \(At^2+Bt+Cte^{-2t}\) en \(At+B+Cte^{-2t}\), maar ik kwam zo niet tot de gegeven oplossing.

Heb ik fout gekozen of heb ik wel juist gekozen, maar daar verder een fout gemaakt?

TD

Je inhomogeen deel is de som van een veelterm van graad 1 (namelijk t) en een exponentiële.

Je stelt dit als particuliere oplossing zo algemeen voor. De veelterm van graad 1 is bvb: At+B.

De exponentiële, C.e^(-2t), is al oplossing van de homogene, dus nog vermenigvuldigen met t.

Voorstel voor de particuliere oplossing: At+B+Ct.e^(-2t).

Koen2704

Voorstel voor de particuliere oplossing: At+B+Ct.e^(-2t).

Ik kom nog altijd niet tot de gegeven algemene oplossing. Ik kreeg deze oplossing: \(y=-\frac{5}{4}e^{-2t}-te^{-2t}+2e^{-t}+\frac{1}{2}t-\frac{3}{4}\)

Blijkbaar nog iets mis met mijn homogeen deel... Moet je de initiële condities toepassen op alleen het homogene deel of op de algemene oplossing om de coëfficiënten van het homogene deel te vinden?

Koen2704

Toepassen op de (voorlopige) algemene oplossing om zo dan uiteindelijk ook de coëfficiënten van het homogeen gedeelte te vinden blijkbaar. Wat ook wel logisch is, aangezien de initiële condities gelden voor y en niet voor \(y_h\) alleen

Bedankt voor de hulp!

TD

De beginvoorwaarden leggen de integratieconstanten van de homogene oplossing vast, meer niet.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

[Wiskunde] Niet-homogene differentiaalvergelijking oplossen

[Wiskunde] Niet-homogene differentiaalvergelijking oplossen

Re: [Wiskunde] Niet-homogene differentiaalvergelijking oplossen

Re: [Wiskunde] Niet-homogene differentiaalvergelijking oplossen

Re: [Wiskunde] Niet-homogene differentiaalvergelijking oplossen

Re: [Wiskunde] Niet-homogene differentiaalvergelijking oplossen