Springen naar inhoud

Equipotent


  • Log in om te kunnen reageren

#1

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 02 januari 2008 - 23:19

"Noem 2 verzamelingen X en Y equipotent als er een bijectie f: X-->Y bestaat. Het is dan eenvoudig in te zien dat dit een equivalentierelatie is tussen 2 verzamelingen."

Ik begrijp het als die 2 verzamelingen iets anders mogen zijn (iets wat een bijectie is met X ....).
Anders begrijp ik het niet want, als X={a} en Y={1}, wat doe je dan ?

ps: volgens mij is niet echt een huiswerkvraag, daarmee dat ik het hier post

Veranderd door jan_alleman, 02 januari 2008 - 23:20


Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2008 - 10:46

Ik begrijp het als die 2 verzamelingen iets anders mogen zijn (iets wat een bijectie is met X ....).

Ik begrijp niet wat je bedoelt met "iets anders mogen zijn"...

Anders begrijp ik het niet want, als X={a} en Y={1}, wat doe je dan ?

Dan definieer ik f zodat f(a) = 1: f is nu een bijectie van X naar Y.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2008 - 11:14

Voor het eerste, als f:X--->Y een functie is en X={Verzameling van alle levende mensen van de planeet} en Y={Verzameling van alle mogelijke DNA's}, dit is duidelijk een bijectie, en dus X en Y zijn equipotent. Dus er zou dan een equivalentie relatie zijn tussen beiden, dus f={(x,y) element XxY| y is de dna van persoon x voor alle x element van X} is een equivalentierelatie. Dus als (x,y) element is van f dan is (y,x) ook een element van f, en dit kan toch zeker niet want een dna is geen mens en een mens is geen dna ....

Dus daarom dacht ik dat je 2 andere verzamelingen nodig hebt, noem |X|=n (dus |Y|=n )
dan kunnen we g: E_n naar E_n beschouwen met g is bijectief, dan is er wel een equivalentierelatie ....

Voor het 2de, f is hier duidelijk geen equivalentierelatie ... (zie 1)

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2008 - 11:19

"Noem 2 verzamelingen X en Y equipotent als er een bijectie f: X-->Y bestaat. Het is dan eenvoudig in te zien dat dit een equivalentierelatie is tussen 2 verzamelingen."

De afbeelding die ze in deze definitie vragen, is er een van X naar Y, dus f:X->Y. Als hier een koppel (x,y) aan voldoen (dus f(x) = y), dan hoeft uiteraard f(y) niet te bestaan, laat staan dat f(y) = x. Dit laatste verband wordt gegeven door de inverse functie van f, dat is f*:Y->X. Het bestaan van die inverse is gegarandeerd, net omdat f een bijectie is.

Om aan te tonen dat twee verzamelingen equipotent zijn, volstaat het dus een afbeelding van de ene naar de andere te vinden die bijectief is. De omgekeerde afbeelding wordt uiteraard niet geleverd door hetzelfde verband, maar door de inverse ervan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2008 - 11:20

Voor het eerste, als f:X--->Y een functie is en X={Verzameling van alle levende mensen van de planeet} en Y={Verzameling van alle mogelijke DNA's}, dit is duidelijk een bijectie,

Nee, want identieke tweelingen.

Ik vraag me af hoe je boek een equivalentierelatie definieert tussen twee verzamelingen.

#6

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2008 - 11:25

Nee, want identieke tweelingen.


Niet muggenziften aub :D

TD, is f die ik definieerde een equivalentierelatie ?
Dat van equipotent is geen probleem, maar dat het dan OOK een equiv rel is begrijp ik niet :s

#7

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2008 - 11:30

Hoe definieert je boek een equivalentierelatie tussen twee verzamelingen?

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2008 - 11:32

Dat lijkt me eerlijk gezegd ook vreemd, wat is de gehanteerde definitie van een "equivalentierelatie"?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2008 - 11:34

De Relatie op X naar X (dus moeten sowieso 2 dezelfde verzamelingen zijn, en dit is al niet) is equivalent als het:

reflexief is: voor alle x, (x,x) is element van R
transitief: ...
symmetrisch: ...

#10

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2008 - 11:36

(dus moeten sowieso 2 dezelfde verzamelingen zijn, en dit is al niet)

Dat is waar ik op aanstuurde. Tenzij ze ook een definitie geven over hoe je dit doet met twee verschillende verzamelingen lijkt het me een hopeloze oefening.

#11

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2008 - 11:43

Dit is geen oefening, dit is de context:

Opmerking 5.1.7. We kunnen de cardinaliteit ook bezien in termen van een equivalentierelatie
op eindige verzamelingen.
Noem twee verzamelingen X en Y equipotent als er een bijectie f : X naar Y bestaat.
Het is dan eenvoudig in te zien dat dit een equivalentierelatie is tussen eindige verzamelingen.
Elke niet-lege eindige verzameling X is equipotent met precies één van de verzamelingen E_n
met n element N_0. Twee eindige verzamelingen X en Y hebben dezelfde cardinaliteit als ze tot
dezelfde equivalentieklasse behoren. De cardinaliteit is n als ze tot de equivalentieklasse van
En behoren.

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2008 - 11:49

Maar nu staat er iets anders dan in je eerste post! De equivalentierelatie is niet de bijectie die je tussen X en Y vindt, maar het feit dat er zo'n bijectie tussen deze verzamelingen bestaat.
Er is altijd een bijectie tussen X en zichzelf (reflexief), als er een bijectie is tussen X en Y, dan is er ook een tussen Y en X (symmetrisch) en als er een bijectie is tussen X en Y en tussen Y en Z, dan ook tussen X en Z (transitief).

Voor eindige verzamelingen gaat dit steeds op indien ze hetzelfde aantal elementen hebben en dus in bijectie kunnen worden gebracht met een verzameling E_n, bestaande uit n elementen. Dit is dan een equivalentieklasse.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

EvilBro

    EvilBro


  • >5k berichten
  • 6703 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2008 - 11:49

Ik zie eindelijk wat ze proberen te zeggen. 'Equipotentie' is een equivalentierelatie. X is equipotent met X, als X equipotent is met Y dan is Y dat met X, en als X equipotent is met Y en Y met Z dan is X equipotent met Z. De verzameling waar ze deze relatie op los laten is de verzameling van eindige verzamelingen (en dus niet op twee verschillende verzamelingen).

#14

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2008 - 12:07

Aaahzo, dus Relatie in dit geval is : zij A en B verzamelingen van verzamelingen:

R= {(X,Y) deelverz AxB | er is een bijectie van X naar Y }

Nu is het duideljk denk ik :D

Veranderd door jan_alleman, 03 januari 2008 - 12:08


#15

Hansicarpus

    Hansicarpus


  • >25 berichten
  • 84 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2008 - 18:44

Wat een boeiende opeenstapeling van misverstanden! Een equivalentierelatie is gedefinieerd op één verzameling (beter: op één klasse, want de 'collectie' van alle verzamelingen is zelf geen verzameling), anders is het zinloos om te spreken van reflexiviteit, symmetrie en transitiviteit. De equivalentierelatie R="- is equipotent met -" is gedefinieerd op de klasse V van alle verzamelingen. Dus:

R={(X,Y) element van V x V |er bestaat een bijectie van X naar Y}

De equivalentieklassen van equipotente verzamelingen (dit zijn trouwens zelf geen verzamelingen maar letterlijk klassen) kunnen gezien worden als veralgemeende natuurlijke getallen of cardinalen. Deze hoeven niet eindig te zijn, integendeel, het wordt pas interessant wanneer men oneindige cardinalen gaat beschouwen.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures