Springen naar inhoud

Uniforme continu´teit


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2008 - 17:40

Hallo

Zou iemand mij eens ahv enkele tekeningetjes het verschil kunnen tonen van uniforme continu´teit en gewone continu´teit?

Alvast bedankt

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2008 - 17:49

Tekeningen zijn niet zo eenvoudig te maken, maar schetsen kan je wel zelf maken (of een programma laten doen). Het belangrijkste, lijkt mij, is dat je het verschil tussen beide vormen van continu´teit kent - begrijp je dat?

Zoja: bekijk eens de grafieken van f(x) = 1/x en f(x) = sin(1/x) in de buurt van x = 0.
De y-waarden nemen willekeurig snel toe als je x voldoende klein neemt.
Deze functies zijn op (0,b] continu, maar niet uniform continu - begrijp je waarom?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2008 - 17:59

Ik had al een bepaald beeld, maar nu snap ik het denk, ik. Om uniform continu te zijn, moet met een kleine verandering in x een kleine verandering in f(x) corresponderen, wat dus niet het geval is bij de gegeven voorbeelden. Nu is mijn vraag: vanaf wanneer is de kleine verandering van f(x) klein genoeg om over uniforme continu´teit te spreken? Er moet toch een concrete manier zijn om dit na te gaan.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2008 - 18:03

Als je voor een gegeven epsilon, onafhankelijk van het punt (x,f(x)), een delta kan geven zodat aan de definitie is voldaan. In tegenstelling tot bij gewone continu´teit, mag die delta niet afhangen van x: het moet mogelijk zijn om een delta te vinden, voor alle x.

Dit laatste zie je goed in de epsilon/delta-definitie: de "voor alle x" komt nß "er bestaat een delta", bij uniforme continu´teit. Via google vond ik nog deze pagina. Ook nuttig is deze pagina, scroll dan verder tot (of zoek naar): "Boxes and butterflies".
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2008 - 18:06

Dus ÚÚn combinatie geven van epsilon en delta is genoeg om uniforme continu´teit aan te tonen ?

Veranderd door Scofield, 03 januari 2008 - 18:06


#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2008 - 18:09

Een epsilon wordt steeds opgelegd, zoals bij gewone continu´teit, het begint immers "Voor alle e>0...". Alleen, de delta die je (eventueel afhankelijk van deze epsilon) moet kunnen geven, mag in het ene geval wÚl afhangen van x (gewoon continu) en in het andere geval niet afhangen van x (uniform continu). Zie ook de plaatjes op de pagina's in de links die ik net gaf (vooral de eerste).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2008 - 18:13

Maar is 1 delta genoeg, want het kan toch zijn dat op een bepaald deel van iuw functie uniforme continu´teit voldaan is en op een ander deel niet, of niet?

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2008 - 18:17

Je bekijkt de functie op een zeker interval (open, gesloten of half). Op dat (hele) interval is de functie uniform continu, als het vinden van die delta mogelijk is (voor een zekere epsilon, maar onafhankelijk van x, dus van waar je je in het interval bevindt). Is dat niet mogelijk, dan is de functie niet uniform continu op dat interval.

In mijn eerder voorbeeld van f(x) = 1/x is dat niet mogelijk op een interval (0,b], maar wel op elk interval [a,b] als a > 0. Het 'probleempunt' is hier dus duidelijk 0, omdat f(x) willekeurig snel kan stijgen als je x willekeurig dicht bij 0 kan laten gaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2008 - 18:26

Dus alles hangt af van de vooropgegeven epsilon, als je een delta die voldoet aan de definitie, dan is hij uniform continu.

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2008 - 18:35

Nee, die epsilon komt ook bij gewone continu´teit kijken... Gegeven een zekere epsilon, moet je steeds een delta vinden zodat... (de voorwaarde die dan volgt). Het verschil tussen gewone continu´teit en uniforme is dat je bij uniforme continu´teit een delta moet kunnen vinden die voldoet voor alle x-waarden in het interval waar je de continu´teit onderzoekt.

Bij gewone continu´teit hoeft dit niet, daar volstaat het dat je voor elke x (afzonderlijk), bij een gegeven epsilon, een goede delta vindt... Die delta mag dus afhangen van je x, als je voor elke x een (eventueel andere) delta vindt, is het goed. Bij uniforme niet, daar moet je voor alle x, ÚÚn goede delta kunnen geven.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2008 - 18:44

Ik ga er nog wat over nadenken...

#12

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2008 - 18:44

Dus alles hangt af van de vooropgegeven epsilon, als je een delta die voldoet aan de definitie, dan is hij uniform continu.


Het moet gelden voor elke epsilon>0.
Neem y=x, en bv epsilon=1, kan je nu een passende delta vinden?
Neem nu eens y=1/x, en epsilon=1, kan je nu nog een delta vinden?
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian

#13

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2008 - 18:54

Ik ga er nog wat over nadenken...

Ik zal proberen nog een intu´tieve uitleg te geven, kijk eens of je dit kan volgen.

Hoe steiler de grafiek, hoe kleiner je je delta in het algemeen zal moeten nemen zodat aan de voorwaarde voor (gewone) continu´teit voldaan is. Als we een functie bekijken op een gesloten interval [a,b], dan is de functie niet noodzakelijk overal even steil. Als de steilheid niet constant is, dan is er ergens een punt c in het interval [a,b], waar de functie het steilst is (dus het snelst verandert). Als de functie hier (gewoon) continu is dan kan je in x = c voor elke epsilon dus een gepaste delta vinden - dat volgt uit de definitie van gewone continu´teit.
Maar omdat de functie in alle andere punten van dat interval minder steil is, voldoet die (relatief "kleine") delta daar zeker ook! Je kan deze delta dus nemen voor alle x-waarden in het interval [a,b], dus is de functie ook uniform continu, op dit hele interval [a,b].

Waar gaat het dan mis voor functies die niet uniform continu zijn? Neem opnieuw de functie f(x) = 1/x, niet op een gesloten interval maar op het open interval (0,1). De functie is hier wel continu, maar niet uniform continu. In elke x in dit interval, kan je wel een gepaste delta vinden (gewone continu´teit), maar je kan geen delta vinden die voldoet voor alle x in dit interval.
Wat is dan het verschil met het vorige voorbeeld? Wel, de functie heeft hier nergens een maximale steilheid, er is geen c in (0,1) waar de functie het steilst is. Immers, hoe dichter je bij 0 gaat, hoe steiler de grafiek wordt. Een delta die voldoet in een punt a, zelfs dichtbij 0, zal niet meer voldoen als je nog veel dichter bij 0 gaat kijken - waar de functie weer veel steiler is.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#14

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 03 januari 2008 - 21:06

Maar dan is f(x)=1/x wel uniform continu over het interval [1,5] bijv.

#15

ZVdP

    ZVdP


  • >1k berichten
  • 2097 berichten
  • VIP

Geplaatst op 03 januari 2008 - 21:13

Maar dan is f(x)=1/x wel uniform continu over het interval [1,5] bijv.

Inderdaad.
Je kan bovendien vrij eenvoudig bewijzen dat elke functie die continu is over een gesloten interval, ook uniform continu is.
"Why must you speak when you have nothing to say?" -Hornblower
Conserve energy: Commute with a Hamiltonian





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures