Springen naar inhoud

[microcursus] goniometrie: sinus, cosinus, tangens (basis)


  • Dit onderwerp is gesloten Dit onderwerp is gesloten

#1

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44892 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 03 januari 2008 - 20:43

Er is ook een volledig overzicht van alle cursussen, FAQ's en handleidingen .

Bij deze cursus zijn ook een aantal oefenopgaven gemaakt, deze vind je onder de cursus.

Als je van deze cursus gebruik maakt, willen we je vriendelijk vragen te laten weten wat je er van vond:

  • Geef eventuele foutjes aan;
  • Zijn de onderdelen soms onduidelijk, of net erg helder?
  • Ontbreken er volgens jou stukken, of heb je suggesties?
  • ...

Reageren kan in vragen en opmerkingen over de cursus en/of de oefenopgaven. We wensen je veel plezier en succes met cursus.

---------------------------------------------------------------------------------------


[microcursus] Goniometrie: sinus, cosinus en tangens (basis)

Auteurs: StrangeQuark , TD , Jan van de Velde

Inhoudsopgave

  • Inleiding
  • 1: Hoeken, hoeken meten, driehoeken
  • 2: Aanliggende en overstaande rechthoekszijde
  • 3: Verhoudingen: tangens, sinus en cosinus
  • 4: Toepassen: met een hoek en een zijde een andere zijde berekenen
  • 5: Toepassen: met twee zijdes een hoek berekenen
  • 6: Eenheidscirkel
    • 6.1 Hoeken in de goniometrische eenheidscirkel
    • 6.2 Sinus en cosinus in de eenheidscirkel
    • 6.3 Tangens in de eenheidscirkel
    • 6.4 Goniometrische getallen op de eenheidscirkel
    • 6.5 Goniometrische getallen en de "sinusvormige grafiek"
  • 7: Goniometrie zonder rekenmachine
    • 7.1 Grafisch én rekenen
    • 7.2 Grafisch zónder rekenen: sinus en cosinus
    • 7.3 Grafisch zónder rekenen: tangens
  • (oefenopgaven)

Inleiding

Wat is goniometrie? Het woord goniometrie komt van het Oudgriekse woord γωνία (goonia) dat "hoek" betekent.
Sinus, cosinus en tangens zijn wiskundige gereedschappen om met hoeken te werken. Je komt ze overal in natuurkunde en techniek tegen. Bij het bouwen van bruggen en huizen, spiegels en lenzen, samenstellen en ontbinden van krachten, bij alle vormen van radiocommunicatie, bij radar, in je computer. Kortom, overal waar hoeken belangrijk zijn kom je ze tegen.


1: Hoeken, hoeken meten, driehoeken

Een hoek wordt bepaald door twee benen: hoekblur.png(afb.1)

Om een hoek te meten verdelen we die in graden.
Een cirkel kunnen zo we verdelen in 360 "partjes" van 1 graad: graden.png(afb.2)

Hoeveel graden een hoek bedraagt kun je meten met een gradenboog, die ook op je geodriehoek staat.


De hoek tussen de rode benen hieronder is 59 graden (59°), er passen 59 partjes van 1° tussen.
Tussen de blauwe benen hieronder is de hoek 27 graden (27°).
geodriehoek.png(afb.3) (bron:wisfaq)

Als het drie uur is, is er een hoek van 90° tussen de kleine en grote wijzer. klok.png(afb.4)
Zo'n hoek van 90° noemen we een "rechte hoek".
In een tekening duiden we zo'n rechte hoek vaak aan met twee haakse lijntjes : haaks.png(afb.5)

Driehoeken heten zo omdat ze drie hoeken hebben (duhh).
3hoek2.png(afb.6)

Die hoeken geven we meestal aan met Griekse letters,
hier alfa (α) , beta (β) en gamma (γ) .

Feit: De drie hoeken van een driehoek zijn samen altijd 180°.

Een driehoek met een rechte hoek noemen we een rechthoekige driehoek .

Feit: In een rechthoekige driehoek is altijd één hoek bekend: die van 90°.

De andere twee hoeken van je rechthoekige driehoek zijn samen dus altijd 90°. Dit kunnen bijvoorbeeld twee hoeken van 45° zijn. Of het kan, zoals je in het plaatje hieronder ziet, ook anders:
180.png(afb.7)

En nu komt het:
Sinus, cosinus en tangens geven de verhoudingen van de lengtes van de zijdes van rechthoekige driehoeken.
Er bestaat een verband tussen de hoeken van een rechthoekige driehoek en de lengte van de zijdes.
Dus als je een hoek hebt kan je daarmee berekenen hoelang de zijdes zijn.
Als je weet hoe lang de zijdes zijn kan je daarmee de grootte van de hoeken berekenen.
Je zou het ook met een gradenboog of liniaal kunnen doen, maar dit is preciezer en het is sneller.
(hoe cool is dat ;))

Veranderd door Jan van de Velde, 13 februari 2016 - 16:18

ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44892 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 december 2012 - 19:14

2: Aanliggende en overstaande rechthoekszijde

Heel belangrijk is dat we afspreken hoe we de zijdes van de driehoeken noemen. In een rechthoekige driehoek zijn er drie verschillende zijdes;
  • Één Schuine zijde , de enige zijde die niet aan de rechte hoek grenst;
    (in sommige wiskundeboeken wordt deze ook wel de Lange zijde genoemd)
  • Twee rechthoekszijdes, de zijdes die wél aan de rechte hoek grenzen.
    Afhankelijk van de hoek die we bekijken (in het plaatje hoek α, alfa) krijgen die een andere "voornaam":
  • De Aanliggende rechthoekszijde ligt aan hoek α;
  • De Overstaande rechthoekszijde staat tegenover hoek α;
Geplaatste afbeelding (afb.8)
:!: De Schuine zijde , heet niet schuin omdat hij hier schuin op het plaatje staat.
Als de driehoek rechtop staat is deze zijde schuin, maar je kan een driehoek ook zo draaien dat hij niet schuin staat
. :!:
(of zó dat ze alledrie schuin staan)
Geplaatste afbeelding (afb.9)
Om te weten welke zijde de schuine zijde is moet je dus zoeken naar de zijde die niet aan de rechte hoek grenst.
De rechthoekszijdes veranderen dus van naam afhankelijk van welke hoek je wilt meten. Hoe dit werkt kan je mooi bij de eerste twee driehoeken van afb.9 zien. Het zijn bijna dezelfde driehoeken, maar omdat je een andere hoek wilt weten, draaien de aanliggende zijde en de overstaande zijde om.
Merk op dat de Schuine zijde(zijde S) wel hetzelfde blijft.
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#3

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44892 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 december 2012 - 19:16

3: Verhoudingen: tangens, sinus en cosinus

Nu we weten hoe we alles noemen kunnen we naar het rekenwerk gaan kijken.
Er bestaat een vaste verhouding in rechthoekige driehoeken tussen de lengtes van de zijdes en de hoeken:

verhouding.png(afb.10)

Laten we we hier eens kijken naar de verhouding van de overstaande rechthoekszijde en de aanliggende rechthoekszijde van hoek α, voor een driehoek die steeds groter wordt:



  • De kleinste driehoek: overstaande rechthoekszijde gedeeld door aanliggende rechthoekszijde:

    LaTeX

 

  • De wat grotere driehoek: overstaande rechthoekszijde gedeeld door aanliggende rechthoekszijde:

    LaTeX

 

  • De nog wat grotere driehoek: overstaande rechthoekszijde gedeeld door aanliggende rechthoekszijde:

    LaTeX

 

En welke je ook opmeet, de verhouding tussen overstaande en aanliggende rechthoekszijde blijft steeds gelijk (in deze driehoek 0,5). Deze vaste verhouding noemen we de tangens van hoek α.

LaTeX



Uit je rekenmachine kun je halen dat hoek α daarom 26,566° (afgerond) moet zijn (we vertellen je later nog hoe je dat doet). Meet maar eens na op je scherm of tik maar eens in op je rekenmachine: tan 26,566

Wat geldt voor de verhouding tussen die twee rechthoekszijdes gaat ook op voor de verhoudingen tussen de andere zijdes. De driehoek verandert immers niet van vorm. Als de driehoek 2 x zo groot wordt worden ook alle zijdes 2 x zo groot. Zo blijven de verhoudingen tussen de zijdes dus steeds gelijk.

Is dat nou het hele geheim, die vaste verhoudingen? Ja, eigenlijk wel. :D

Op deze manier kun je steeds drie verhoudingen berekenen:

De tangens, overstaande rechthoekszijde gedeeld door aanliggende rechthoekszijde.

Wat we de sinus noemen: overstaande rechthoekszijde gedeeld door schuine zijde.

En wat we de cosinus noemen: aanliggende rechthoekszijde gedeeld door schuine zijde.

Het wordt nu tijd om dit samen te vatten in drie korte formules, en daarvoor korten we eerst de namen van de zijden maar eens af:


S is de Schuine zijde,
O is de Overstaande rechthoekszijde
A is de Aanliggende rechthoekszijde.
osa.png(afb.11)
Benodigde formules:

  • sinus(α) = O / S
  • cosinus(α) = A / S
  • tangens(α) = O / A



Deze formules zul je stomweg uit je hoofd moeten leren.
 

Ezelsbruggetje
ezel.gifbrug2.png(afb.12,13) .....Wat ik onthou is: SOSCASTOA.

Voor de Sinus deel je O door S, voor de Cosinus deel je A door S, en voor de de Tangens deel je O door A.
Voeg de letters samen en je krijgt SOS CAS TOA.
Je hoeft het niet zo te doen maar ik en een hoop andere scholieren en studenten vinden dit wel makkelijk.

ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#4

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44892 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 december 2012 - 19:17

4: Toepassen: met een hoek en een zijde een andere zijde berekenen

Stappenplan:
  • Stap 1: Maak van je probleem een tekening in de vorm van een simpele driehoek;
  • Stap 2: Bepaal waar je hoek zit en welke zijdes je kent;
  • Stap 3: Zet bij de zijdes of ze de O-, A- of S-zijde zijn, voor de hoek waar je naar kijkt;
  • Stap 4: Kijk wat je hebt en wat je wilt weten, zoek daar m.b.v. SOSCASTOA de juiste formule bij. Dus sinus, cosinus of tangens;
  • Stap 5: Schrijf de formule om in de vorm waarin je het wilt weten;
  • Stap 6: Reken het uit.
De vlaggenmast:




Hier zie je een vlaggenmast en jij wil weten hoe hoog deze mast is:


Geplaatste afbeelding (afb.14)

Je wil er niet inklimmen (dat staat zo vandalistisch). Je ziet dat de zon een schaduw van 6 meter op de grond maakt, en met je geodriehoek heb je een hoek van 33,7 graden gemeten als je over het topje van de vlaggenmast kijkt (dat staat nu juist weer interessant).
  • Stap 1: Bij de afbeelding heb ik een simpele driehoek gemaakt die lijkt op het plaatje;
  • Stap 2: Bij de schaduwzijde heb ik 6 meter gezet en bij de hoek heb ik 33,7 graden gezet;
  • Stap 3: In de tekening heb ik ook de letters bij de zijdes gezet;
  • Stap 4: De hoek is 33,7 graden, zijde A is 6 meter en je wilt de lengte van zijde O weten. Nu ga je kijken welke formule je nodig hebt. De tangens lijkt een goede want die berekent de verhouding tussen de O en de A.
  • Stap 5: tan(33,7) = O / 6 ...dus.... O = 6 x tan(33,7);
  • Stap 6: Tik in op je rekenmachine: 6 x tan(33,7) ........... Dus de lengte van de vlaggenmast is 4 meter.
:!: (zorg er wel voor dat je rekenmachine hierbij ingesteld staat op graden, in het Engels degrees (DEG) )


Hierboven wordt bij Stap 5 tangens(α) =O/A omgerekend naar O= A x tangens(α).
Als je het moeilijk vindt om te goochelen met getallen (of makkelijk in de war raakt), dan is daar een trucje voor:

De formuledriehoek (toepasbaar voor het omrekenen van heel veel formules):

In de lege driehoek zie je een deelstreep en een vermenigvuldigingsteken. Geplaatste afbeelding (afb.15)
Je kent de formule: LaTeX

In deze formule staat de "O" boven de deelstreep. Die zet je dan in je driehoek óók boven de deelstreep. Voor "tan(α)" en "A" blijven maar twee plekken aan weerszijden van het vermenigvuldigingsteken over. Hoe je die daar neerzet doet er niet toe (want bijvoorbeeld 4 x 3 of 3 x 4, dat maakt geen verschil, dat geeft allebei 12)
Geplaatste afbeelding (afb.16)
Nu wil je de O (overstaande zijde) berekenen, die is onbekend.
Nu, máák die dan ook onbekend door er je vinger op te leggen:

De leesbare formule die overblijft is tan(α) x A, en dat is dan ook de berekening die je uitvoert om O te bepalen.
Geplaatste afbeelding (afb.17)


Tuidraden:

Nu staat er nogal wat wind, en de vlaggenmast moet getuid worden, d.w.z. er moet een touw van het topje van de mast naar de grond. Stel, je wilt de haring om het touw aan vast te binden in de grond slaan op diezelfde 6 meter afstand. Hoe lang moet je touw dan minstens zijn (de knopen niet meegerekend)?
  • Stap 1: Bij de afbeelding heb ik een simpele driehoek gemaakt die lijkt op het plaatje;
  • Stap 2: Bij de schaduwzijde heb ik 6 meter gezet en bij de hoek heb ik 33,7 graden gezet;
  • Stap 3: In de tekening heb ik ook de letters bij de zijdes gezet;
  • Stap 4: De hoek is 33,7 graden, zijde A is 6 meter en je wilt zijde S weten. Nu ga je kijken welke formule je nodig hebt. Aan een tangens heb je niets, want die berekent de verhouding tussen de O en de A. Dankzij SOSCASTOA weet je dat je de cosinus moet gebruiken, de verhouding tussen A en S;
  • Stap 5: cos(33,7) = 6 / S
    Geplaatste afbeelding (afb.18)
  • ...dus... S = 6 / cos(33,7);
  • Stap 6: Tik in op je rekenmachine: 6 / cos(33,7) ........... Dus de lengte van je touw moet 7,21 m zijn.
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#5

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44892 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 december 2012 - 19:18

5: Toepassen: met twee zijdes een hoek berekenen

Zo makkelijk als je met een hoek en een zijde de andere zijden kunt berekenen, kun je (met een goede rekenmachine tenminste) ook de hoek berekenen als je twee zijdes kent. Alleen, als je dan de formules gebruikt die je hierboven leerde vind je dan niet de hoek in graden, maar de sinus, cosinus of tangens van die hoek. De vraag is, hoe reken je dat nu weer om naar graden? Hierboven rekende je met een hoek de tangens van die hoek uit. Nu moet je machine andersom werken, met de tangens van een hoek die hoek uitrekenen. Een moeilijk woord voor "andersom" is "invers".

--------------
Niet zó moeilijk hoor. Bijvoorbeeld: delen is de inverse bewerking van vermenigvuldigen.


bewerking keer drie:
LaTeX

en dan de inverse bewerking gedeeld door drie:
LaTeX


bewerking tangens:
LaTeX

en dan de inverse bewerking boogtangens:
LaTeX

dus de boogtangens van (tangens alfa) is alfa zelf.
---------------



Op je machine vind je die functies onder een van de volgende drie aanduidingen:
  • bgsin, arcsin of sin-1;
  • bgcos, arccos of cos-1;
  • bgtan, arctan of tan-1.
Verder lijken de formules heel erg op de SOSCASTOA-formules. Neem je bijvoorbeeld de boogtangens van O/A, dan rolt daar netjes je hoek uit.

LaTeX dus type in: bgtan.... (.... O.... :.... A ....).... =

Als je dat doet voor je vlaggenmast:
bgtan.... (.... 4.... :.... 6 ....).... = , dan vindt je machine 33,7°.


De kraanmachinist

Een kraanmachinist moet een stapel balken plaatsen op een toren in aanbouw. De toren is 6 meter hoog, de onderkant van zijn balkenlast hangt 1,66 m onder de top van zijn mast. Zijn mast heeft een lengte van 10 m gerekend van de grond. Op welke hoek moet de machinist zijn masthendel instellen om de balken nog juist op de toren te kunnen leggen?
Geplaatste afbeelding (afb.19)
  • Stap 1: Bij de afbeelding heb ik een simpele driehoek gemaakt die lijkt op het plaatje;Geplaatste afbeelding (afb.20)
  • Stap 2: Bij de mast heb ik 10 meter gezet en bij de muur en balken heb ik (6 + 1,66 =) 7,66 m gezet;
  • Stap 3: In de tekening heb ik ook de letters bij de zijdes gezet;
  • Stap 4: Nu ga je kijken welke formule je nodig hebt. Dankzij SOSCASTOA weet je dat je de sinus moet gebruiken, de verhouding tussen O en S;
  • Stap 5: sin(α) = 7,66 / 10;
  • Stap 6: Tik in op je rekenmachine: bgsin(7,66/10)........ Dus de hoek van de mast moet 50° zijn.
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#6

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44892 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 december 2012 - 19:19

6: Eenheidscirkel

6.1 Hoeken in de goniometrische eenheidscirkel

We hebben gezien hoe we in een rechthoekige driehoek de sinus, cosinus en tangens van een hoek kunnen vinden. Deze getallen noemen we de goniometrische getallen van de hoek. We kunnen deze getallen ook terugvinden door gebruik te maken van een speciale cirkel. De goniometrische eenheidscirkel is een cirkel met straal 1 en middelpunt in de oorsprong (van een rechthoekig assenstelsel), zoals weergegeven in onderstaande figuur:

Geplaatste afbeelding (afb.21)

Hoeken worden gevormd door twee benen: we nemen het positieve deel van de x-as steeds als eerste been. Om een hoek alfa aan te duiden op de cirkel, tekenen we een tweede been vanuit de oorsprong. Dit been maakt een hoek alfa met de x-as, de positieve richting is tegenwijzerszin (tegen de klok in).
Het snijpunt van dit tweede been met de eenheidscirkel, noemen we het beeldpunt P. In onderstaande figuur is een hoek van 30° met het bijbehorende beeldpunt aangeduid op de goniometrische eenheidscirkel:

Geplaatste afbeelding (afb.22)


6.2 Sinus en cosinus in de eenheidscirkel

We bekijken nu de gekleurde rechthoekige driehoek in onderstaande figuur:

Geplaatste afbeelding (afb.23)

We weten dat de cosinus van hoek α gelijk is aan de lengte van de aanliggende zijde (A, in het rood) gedeeld door de lengte van de schuine zijde (S, in het groen). Maar de eenheidscirkel heeft straal 1, dus S = 1. De cosinus is daarom precies gelijk aan de lengte van de aanliggende zijde. Zoals te zien op de tekening, is dit de x-coördinaat van het beeldpunt P.
Op dezelfde manier kunnen we zien dat de y-coördinaat van P, gelijk is aan de sinus van α. Om de sinus te vinden, delen we immers O (overstaande zijde, in het blauw) door S, maar S was 1. De coördinaten van P zijn dus precies de cosinus en sinus van de hoek α. We kunnen dit aanduiden op de goniometrische cirkel:

Geplaatste afbeelding (afb.24)


6.3 Tangens in de eenheidscirkel

Nu zouden we nog graag de tangens terugvinden op de goniometrische cirkel. We weten dat in een rechthoekige driehoek, de tangens gelijk is aan de lengte van de overstaande zijde gedeeld door de lengte van de aanliggende zijde. Als we dit keer niet de schuine zijde, maar de aanliggende zijde gelijk krijgen aan 1, dan is de tangens precies de overstaande zijde. We bekijken dit keer dus een driehoek vanuit α, maar met aanliggende zijde gelijk aan 1:

Geplaatste afbeelding (afb.25)

Omdat de straal van de cirkel gelijk is aan 1, hebben we nu A = 1 in onze driehoek en dus tan(α) = O/A = O. De overstaande zijde ligt op een lijn die evenwijdig is met de y-as en door het punt (1,0) gaat, deze lijn is ook op de figuur getekend. Dit is de raaklijn aan de cirkel in het punt (1,0). Het beginpunt van de overstaande zijde is het punt (1,0), op de cirkel. Het eindpunt is het snijpunt van het tweede been van de hoek met die raaklijn. De hoogte, die we op de y-as kunnen aflezen, is dus de tangens.



6.4 Goniometrische getallen op de eenheidscirkel

We laten de driehoeken nu weg en tonen de goniometrische getallen op de cirkel voor een hoek α van 40°:

Geplaatste afbeelding (afb.26)

Goniometrische getallen kunnen ook negatief zijn, hieronder zijn ze aangeduid voor een hoek α van 221°:

Geplaatste afbeelding (afb.27)

Hier zijn de sinus (≈ -0.66) en de cosinus (≈ -0.75) negatief, de tangens (≈ 0.87) is positief.

Aangezien het beeldpunt op de cirkel ligt, zullen de x- en y-coördinaten van P altijd tussen -1 en 1 liggen. We zien dus ook op de eenheidscirkel dat de sinus en cosinus van een hoek steeds gelegen zijn tussen -1 en 1. Voor de tangens is dit echter niet zo, zoals te zien op de volgende figuur met een hoek α van 50°:

Geplaatste afbeelding (afb.28)

Bij een hoek van 90° of 270°, ligt het beeldpunt P op de y-as. Het tweede been van de hoek ligt dan eveneens volgens de y-as en is dan evenwijdig met de eerder vermelde raaklijn. De tangens werd bepaald door het snijpunt van het tweede been van de hoek met die raaklijn. Aangezien evenwijdige lijnen niet snijden, bestaat de tangens voor deze hoeken niet.

De exacte waarden van de goniometrische getallen zijn voor enkele belangrijke hoeken in onderstaande tabel samengevat:

LaTeX


6.5 Goniometrische getallen en de "sinusvormige grafiek"

Je kent ze vast wel, die mooie golfgrafiekjes, "sinusoïden":
Geplaatste afbeelding (afb.29)

Hoe komen we daar nou aan?
Dat doen we door in een grafiek op de x-as de hoek uit te zetten in graden, en op de y-as de sinus. Als je zo voor elke hoek tussen 0° en 360° de bijbehorende sinus in de grafiek zet komt die sinusoïde tevoorschijn.

In deze applet van Fendt kun je dat zelf doen, voor sinus, cosinus en tangens. Sleep de schuine zijde rond de eenheidscirkel, en daarnaast zie je de grafiek ontstaan.
In de applet kun je niet oneindig rond blijven slepen, na 360° houdt het op.

Een cirkel heeft echter geen einde, die gaat door, en de hoek dus ook. Na 360° komen 370°, 380° etc. Als de rondgaande beweging steeds maar doorgaat loopt de golf ook steeds door. In deze animatie klik je op "start". (Toevallig worden hier voor de zijdes van de driehoek dezelfde kleuren gebruikt als in de cursus.)
ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#7

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44892 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 december 2012 - 19:21

7: Goniometrie zonder rekenmachine

Stel je wil de sinus weten van een hoek van 49,5°. Je pakt je rekenmachine, en typt in: sin(49,5°) . Het antwoord is 0,76. Simpel.
Maar kan dat ook anders? Jawel hoor! Grafisch............

TIPS als je grafisch gaat werken:
  • Gebruik ruitjespapier: dat geeft je al haakse lijnen én een schaalverdeling
  • Werk op zo groot mogelijke schaal: hoe groter je schaal, hoe nauwkeuriger je uitkomsten.


7.1 Grafisch én rekenen

Dit heb je in hoofdstuk 3 gezien. Teken een rechthoekige driehoek met een hoek van 49,5°.


Geplaatste afbeelding(afb.30)


Meet de lengtes van de overstaande rechthoekszijde (bijv. 5,8 cm) en van de schuine zijde (die is dan 7,65 cm) en deel ze op elkaar.

LaTeX .

Wat cijferwerk (of toch weer die rekenmachine) levert ook 0,76 op.

Dit wordt al heel wat lastiger tekenen als je wel een sinus van je hoek kent, en de grootte van je hoek moet weten. Je moet dan al heel wat gaan rekenen en met een passer gaan werken om een nette rechthoekige driehoek ervan te kunnen maken.


7.2 Grafisch zónder rekenen: sinus en cosinus

Wat je hierboven deed kan handiger. Teken je hoek in een eenheidscirkel! Dat heeft één groot voordeel, de schuine zijde heeft dan namelijk altijd de lengte "1" . Delen door één is makkelijk, daar heb je geen rekenmachine voor nodig. :

LaTeX .

conclusie: in een eenheidscirkel geldt: .... LaTeX .... heel handig !
  • Je zou dan een cirkel kunnen tekenen met een straal van 10 hokjes, en die 10 hokjes "1" noemen
  • Teken met je geodriehoek een schuine zijde met een hoek t.o.v. je x-as van 49,5°.
  • Maak zo je wilt je rechthoekige driehoek af.
  • Meet de overstaande zijde van de driehoek in je eenheidscirkel. Op dezelfde schaal is die 0,76. (7,6 hokjes)
En dat is nu (dankzij die schuine zijde die altijd "1" is) gelijk de sinus van je hoek !

Geplaatste afbeelding (afb.31)

Ook als je nu andersom moet, van een bekende sinus naar een te meten hoek is dit veel handiger.
  • Lees die 0,76 af op de y-as, en teken een horizontale stippellijn naar je eenheidscirkel,
  • Teken de zijdes van je rechthoekige driehoek.
  • Hoek opmeten met je geodriehoek: 49,5°.

Ken je niet de sinus maar de cosinus van je hoek, dan is het systeem natuurlijk vergelijkbaar met wat we hierboven zagen voor de sinus. Alleen werk je dan niet via de y-as, maar via de x-as (want daar lees je in je eenheidscirkel je cosinus af, kijk nog maar eens in hoofdstuk 6). In de oefenopgaven zullen we zoiets voor je uitwerken.


7.3 Grafisch zónder rekenen: tangens

Ook voor de tangens is een grafische bepaling met de eenheidscirkel mogelijk. Alleen, nu heb je er niks aan om zeker te weten dat je schuine zijde "1" is, want die schuine zijde komt in de formule voor de tangens niet voor.

LaTeX .

Hier is het dus handig om voor de aanliggende rechthoekszijde 1 te nemen:

LaTeX

En dat is dus ook wat je in hoofdstuk 6 zag gebeuren!

Voorbeeld: bepaal grafisch de tangens van een hoek van 49,5°
  • Teken dus een rechthoekige driehoek met aanliggende rechthoekszijde "1", d.w.z. een horizontale tot aan de eenheidscirkel.
  • Teken dan m.b.v. je geodriehoek een hoek van 49,5° erop.
  • Lees de tangens af op de y-as : 1,17

Geplaatste afbeelding (afb.32)

ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270

#8

Jan van de Velde

    Jan van de Velde


  • >5k berichten
  • 44892 berichten
  • Moderator

Geplaatst op 01 december 2012 - 20:14

In het huiswerkforum vind je een topic voor je vragen en opmerkingen over de cursus en/of de oefenopgaven.
Zit je met een opgave over goniometrie waar je niet aan uit geraakt? Open dan een topic in het huiswerkforum.

Er is ook een volledig overzicht van alle cursussen, FAQ's en handleidingen


----------------------------------------------------------------------------------------

Oefenopgaven
bij de bovenstaande [microcursus] Goniometrie: sinus, cosinus en tangens (basis)



Het eindantwoord zonder uitwerking, en de volledige uitwerking vind je steeds door te klikken op de respectievelijke
Verborgen inhoud
uitwerking
.

In de antwoorden en uitwerkingen volgen we niet stééds helemaal het stappenplan uit de cursus, en gebruiken we ook niet steeds de standaardkleurtjes uit de cursus. Bij opgaven die je buiten de cursus tegenkomt zal dat ook niet het geval zijn.

Daarom hier voor de volledigheid nog maar even het stappenplan:

Stappenplan:

  • Stap 1: Maak van je probleem een tekening in de vorm van een simpele driehoek;
  • Stap 2: Bepaal waar je hoek zit en welke zijdes je kent;
  • Stap 3: Zet bij de zijden of ze de O-, A- of S-zijde zijn, voor de hoek waar je naar kijkt;
  • Stap 4: Kijk wat je hebt en wat je wilt weten, zoek daar m.b.v. SOSCASTOA. de juiste formule bij. Dus sinus, cosinus of tangens;
  • Stap 5: Schrijf de formule om in de vorm waarin je het wilt weten;
  • Stap 6: Reken het uit.


Let in de voorbeeldantwoorden niet op de significantie van de cijfers. Gezien de bedoeling van de oefeningen geven we het antwoord steeds in afgeronde of anders duidelijk herkenbare getallen.


1-5: Rechttoe rechtaan

Geplaatste afbeelding (afb.1)

Bepaal steeds wat er op de ? en ?? moet komen staan (en bij opgave 3 wat dáár gevraagd wordt):

1?:
Antwoord:
Verborgen inhoud
1,732 cm

Uitwerking:
Verborgen inhoud
  • Stap 1: Maak van je probleem een tekening in de vorm van een simpele driehoek;
  • Stap 2: Bepaal waar je hoek zit en welke zijdes je kent;
    De zijde van 3 cm is de aanliggende zijde van de bekende hoek van 30°.
  • Stap 3: Zet bij de zijdes of ze de O-, A- of S-zijde zijn, voor de hoek waar je naar kijkt;
  • Stap 4: Kijk wat je hebt en wat je wilt weten, zoek daar de juiste formule bij. Dus sinus, cosinus of tangens;
    Ik ken een hoek en een Aanliggende zijde, en wil een Overstaande zijde weten.



    Dat wordt dus de TOA uit SOSCASTOA.

    tan(30°) = O / A

  • Stap 5: Schrijf de formule om in de vorm waarin je het wilt weten;



    Bijvoorbeeld met de driehoekjesmethode:
    Geplaatste afbeelding Geplaatste afbeelding O = tan(α) x A.

  • Stap 6: Reken het uit.



    ? = tan(30°) x 3 cm = 0,5774 x 3 = 1,732 cm




1??:
Antwoord:
Verborgen inhoud
3,464 cm

Uitwerking:
Verborgen inhoud
  • Stap 4: Kijk wat je hebt en wat je wilt weten, zoek daar de juiste vergelijking bij. Dus sinus, cosinus of tangens;



    Ik ken een hoek van 30° en een Aanliggende zijde van 3 cm, en wil een Schuine zijde weten.

    Dat wordt dus de CAS uit SOSCASTOA.

    cos(α) = A / S

  • Stap 5: Schrijf de formule om in de vorm waarin je het wilt weten;



    Bijvoorbeeld met de driehoekjesmethode: Geplaatste afbeelding S = A / cos(α)

  • Stap 6: Reken het uit.



    ?? = 3 cm / cos (30°) = 3 cm / 0,866 = 3,464 cm




2?:
Antwoord:
Verborgen inhoud
3,727 cm

Uitwerking:
Verborgen inhoud
  • Stap 4: Kijk wat je hebt en wat je wilt weten, zoek daar de juiste vergelijking bij. Dus sinus, cosinus of tangens;


    Ik ken een hoek van 75° en een Overstaande zijde van 3,6 cm, en wil een Schuine zijde weten.
    Dat wordt dus de SOS uit SOSCASTOA.

    sin(α) = O / S

  • Stap 5: Schrijf de formule om in de vorm waarin je het wilt weten;


    sin(α) = O/S ==> S = O / sin(α)

  • Stap 6: Vul in en reken uit.


    S = 3,6 / sin(75°) = 3,6 / 0,966 = 3,727 cm




3: Bereken de tangens van β en ook de tangens van γ
Antwoord:
Verborgen inhoud
tan (β) = 0,5 , en tan (γ) = 2

Uitwerking:
Verborgen inhoud
  • Stap 4: Kijk wat je hebt en wat je wilt weten, zoek daar de juiste vergelijking bij. Dus sinus, cosinus of tangens;


    Ik ken een Aanliggende zijde, en een Overstaande zijde, en wil iets van een hoek (β) weten.

    Dat wordt dus de TOA uit SOSCASTOA.

    tan(β) = O / A

  • Stap 5: Schrijf de formule om in de vorm waarin je het wilt weten;


    (hoeft niet, hij staat al in de goede vorm)

  • Stap 6: Reken het uit.


    tan(β) = O/A = 1,5/3 = 0,5

    Op vergelijkbare wijze bereken je:


    tan(γ) = O/A = 3/1,5 = 2

    (NB: vanuit een andere hoek gezien veranderen ook de namen van de rechthoekszijden !!!)



3: Bereken nu eerst hoek β en dan γ in graden
Antwoord:
Verborgen inhoud
β = 26,56°, γ = 63,44°

Uitwerking:
Verborgen inhoud

Je kent intussen tan(β). (β) zélf berekenen is dan niet meer moeilijk, dan neem je de boogtangens van de tangens van (β).
bgtan(tan(β)) = bgtan(0,5) = 26,56°


Hoek γ bepalen kan op dezelfde manier, maar ook simpelweg zó:

De drie hoeken van een driehoek zijn samen altijd 180°.
De rechte hoek is 90° , voor β en γ samen schiet hier dus 180° -90° = 90° over.
β + γ = 90° .
β had je berekend op 26,56°.
Voor γ schiet dus 90° - 26,56° = 63,44° over.




4?:
Antwoord:
Verborgen inhoud
? = 1,4142 cm ( √2 cm )

Uitwerking:
Verborgen inhoud

Goniometrie:

Je kent een hoek en een schuine zijde en je wilt een overstaande zijde weten.
sin(45°) = O/S
ómschrijven: O= S x sin(45°) = 2 x 0,7071 = 1,4142 cm


Pythagoras:

?² + ?² = 2²
2?²= 4
?²=2
?= √ 2 = 1,4142 cm

Pythagoras is het met ons eens, gelukkig.



4??:
Antwoord:
Verborgen inhoud
? = 1,4142 cm ( √2 cm )

Uitwerking:
Verborgen inhoud

Goniometrie:

Je kent een hoek en een schuine zijde en je wilt een aanliggende zijde weten.
cos(45°) = A/S
ómschrijven: A= S x cos(45°) = 2 x 0,7071 = 1,4142 cm

Pythagoras is het nog steeds met ons eens.

Vergelijk nu eens met de vorige vraag? Wat valt op?
cos(45°) en sin(45°) zijn aan elkaar gelijk. Dat moet ook wel, want de twee rechthoekszijden A en O zijn gelijk, en worden door dezelfde schuine zijde gedeeld.



5:?
Antwoord:
Verborgen inhoud
? = 1,865 cm

Uitwerking:
Verborgen inhoud

Je kent een hoek en een overstaande rechthoekszijde en je wilt een aanliggende zijde weten.
tan(65°) = O/A
ómschrijven: A= 4 / tan(65°) = 4 / 2,1445 = 1,865 cm




5:??
Antwoord:
Verborgen inhoud
? = 4,413 cm

Uitwerking:
Verborgen inhoud

Je kent een hoek en een overstaande rechthoekszijde en je wilt een schuine zijde weten.
sin(65°) = O/S
ómschrijven: S = 4 / sin(65°) = 4 /0,9063 = 4,413 cm





6: Rekenmachine stuk..... ;) ??

Je weet dat de cosinus van een hoek 0,21 is. Maar hoe groot is die hoek dan? Je rekenmachine is stuk, maar je hebt gelukkig nog wel een vel ruitjespapier, een passer en een geodriehoek.

Antwoord:
Verborgen inhoud
ongeveer 78°

Uitwerking:
Verborgen inhoud

Uit SOSCASTOA weet je dat cos(α) = A/S .
Het is dus handig als je in de eenheidscirkel 1 gebruikt voor S, want dan geldt: cos(α) = A/1=A

teken dus een eenheidscirkel:

Geplaatste afbeelding (afb.2)

Gegeven was een cosinus van 0,21.
Teken een aanliggende zijde van 0,21:

Geplaatste afbeelding (afb.3)

Nu kun je de overstaande rechthoekszijde tekenen tot
aan de cirkel:

Geplaatste afbeelding (afb.4)

Dan ook je schuine zijde:

Geplaatste afbeelding (afb.5)

Ten slotte meten met je geodriehoek: 78°

Geplaatste afbeelding (afb.6)





7: Chainshot pirates

Geplaatste afbeelding (afb.7)

De kaper wil kettingen afschieten op het kleinere schip, zodat ze wel de tuigage onklaar maken, maar de romp en lading intact blijven. Met kettingen hebben de kanonnen echter maar een bereik van 100 m. De man in het kraaiennest weet dat hij 50 m boven de waterlijn zit. Hij heeft een geodriehoek en meet vanaf zijn hoge positie een hoek van 60° tussen zijn zichtlijn en de mast. Is de prooi al in schootsbereik?

Antwoord:
Verborgen inhoud
Ja, ze kunnen schieten. De prooi is maar 86,6 m van hen verwijderd.

Uitwerking:
Verborgen inhoud
  • Stap 1: Maak van je probleem een tekening in de vorm van een simpele driehoek;


    Zie afbeelding, de letters hebben we weggelaten.

  • Stap 2: Bepaal waar je hoek zit en welke zijdes je kent;


    De mast van 50 m is de aanliggende zijde van de bekende hoek van 60°.

  • Stap 3: Zet bij de zijdes of ze de O-, A- of S-zijde zijn, voor de hoek waar je naar kijkt;


    Zie afbeelding, de letters hebben we weggelaten.

  • Stap 4: Kijk wat je hebt en wat je wilt weten, zoek daar de juiste formule bij. Dus sinus, cosinus of tangens;


    Ik ken een hoek en een Aanliggende zijde, en wil een Overstaande zijde weten. Dat wordt dus de TOA uit SOSCASTOA.
    tan(α) = O / A

  • Stap 5: Schrijf de formule om in de vorm waarin je het wilt weten;


    Bijvoorbeeld met de driehoekjesmethode:
    Geplaatste afbeelding Geplaatste afbeelding O = tan(α) x A.

  • Stap 6: Reken het uit.


    schootsafstand = tan(60°) x 50 m = 1,732 x 50 m = 86,6 m





8: Hoogte van een boom

Geplaatste afbeelding (afb.8)

Je wilt de hoogte van een boom bepalen met alleen een geodriehoek en een waterpas. Je weet dat je ogen op een hoogte van 1,60 m van de grond zitten. Ten opzichte van je waterpas meet je hoeken van 35° en 8° (zie afbeelding).
Hoe hoog is de boom?

Hint:
Verborgen inhoud
Reken eerst met de onderste driehoek uit hoe ver je van de boom staat.


Antwoord:
Verborgen inhoud
Afstand z tot de boom 11,38 m, hoogte van de boom x+y = 9,57 m

Uitwerking:
Verborgen inhoud
  • Stap 4: Kijk wat je hebt en wat je wilt weten, zoek daar de juiste formule bij. Dus sinus, cosinus of tangens;


    Ik ken een hoek van 8° en een Overstaande zijde "y" van 1,60 m, want de stippellijn van mijn ooghoogte is waterpas. Ik kan daarmee een Aanliggende zijde "z" uitrekenen. Dat wordt dus de TOA uit SOSCASTOA.
    tan(α) = O / A

  • Stap 5: Schrijf de formule om in de vorm waarin je het wilt weten;


    A = O / tan(α)

  • Stap 6: Reken het uit.


    afstand z tot de boom = Overstaande zijde y / tan(α) = 1,60 / tan(8°) = 1,60/0,1405 = 11,38 m
    Je staat dus 11,38 m van de boom vandaan.

    Nu verder met de bovenste driehoek:
    Van de bovenste driehoek ken je nu een hoek (35°) en een Aanliggende rechthoekszijde "z" (11,38 m) , en je wilt de Overstaande rechthoekszijde "x" weten.
  • Stap 4: Kijk wat je hebt en wat je wilt weten, zoek daar de juiste formule bij. Dus sinus, cosinus of tangens;


    Ik ken een hoek en een Aanliggende zijde, en wil een Overstaande zijde weten.

    Dat wordt dus de TOA uit SOSCASTOA.

    tan(α) = O / A

  • Stap 5: Schrijf de formule om in de vorm waarin je het wilt weten;


    O = tan(α) x A

  • Stap 6: Reken het uit.


    bovenste hoogte x = tan(35°) x 11,38 m = 0,7002 x 11,38 m = 7,97 m

Conclusie: De boom is x + y = 1,60 + 7,97 = 9,57 m hoog.



:!: Vanaf hier moet je zelf op zoek naar je driehoeken.


9: Bomen rooien

Geplaatste afbeelding (afb.9)
NB: In de afbeeldingen afwijkend kleurgebruik.

Twee even sterke tractoren trekken samen aan een boomstronk. Om de boomstronk te rooien is een nettotrekkracht nodig van 8000 N. De hoek tussen de kettingen waarmee de tractoren aan de boom trekken is 73,8°. Met welke kracht moet elke tractor trekken zodat ze samen de klus kunnen klaren?
(Hint: omdat de twee tractoren even sterk zijn zal de boom midden tussen de twee tractoren in vallen. De nettokracht van beide tractoren samen is dus een vector ter grootte van 8000 N midden tussen de tractorvectoren in.)

Antwoord:
Verborgen inhoud
5000 N

Uitwerking:
Verborgen inhoud
  • Stap 1: Maak van je probleem een tekening in de vorm van een simpele driehoek;



    Even schematisch weergeven:
    Geplaatste afbeelding (afb.10)


  • parallellogrammethode:


  • Geplaatste afbeelding (afb.11)

    Een rechte hoek is nergens te bekennen, maar die kun je desnoods maken:Geplaatste afbeelding (afb.12)

  • Stap 2: Bepaal waar je hoek zit en welke zijdes je kent;



    Een nettokracht van 4000 N (de helft van die 8000 N) is de aanliggende zijde van de bekende hoek van 36,9°.

  • Stap 3: Zet bij de zijdes of ze de O-, A- of S-zijde zijn, voor de hoek waar je naar kijkt;


    (In dit plaatje passen we dus niet die kleurtjes toe)

  • Stap 4: Kijk wat je hebt en wat je wilt weten, zoek daar de juiste formule bij. Dus sinus, cosinus of tangens;


    Ik ken een hoek en een Aaanliggende zijde, en wil een Schuine zijde weten. Dat wordt dus de CAS uit SOSCASTOA.

    cos(α) = A / S

  • Stap 5: Schrijf de formule om in de vorm waarin je het wilt weten;



    Bijvoorbeeld met de driehoekjesmethode: Geplaatste afbeelding

    S = A / cos(α).

  • Stap 6: Reken het uit.


    trekkracht = 4000 N / cos (36,9°) = 4000 N / 0,8 = 5000 N





10: Afstanden meten in het heelal: eenvoudiger dan het lijkt

Geplaatste afbeelding (afb.13)
Op de noordpool en op de zuidpool staan twee denkbeeldige telescopen op precies dezelfde maankrater gericht. Ze houden elkaar telefonisch op de hoogte, en op een zeker moment meten ze allebei een hoek met het waterpas (αα en ββ respectievelijk) van 0,94° (de waterpaslijnen zijn de dunne stippellijnen).
(NB: In de afbeelding lijkt die hoek véél groter. Aarde en Maan zijn redelijk op schaal, maar om de afstand ertussen ook op diezelfde schaal te zetten zou de afbeelding 2 meter breed moeten zijn.)

De afstand over de aardas tussen de twee observatoria (polar radius) is 12 713,504 6 km (ja, dat weten tot op de decimeter nauwkeurig). Hoe groot is de afstand van het middelpunt van de Aarde tot aan het maanoppervlak?

Hint 1:
Verborgen inhoud
De twee hoeken αα en α vormen samen een hoek van 90°

Hint 2:
Verborgen inhoud
De getekende driehoek is niet rechthoekig, maar je kunt hem wel heel logisch in tweeën snijden tot twee rechthoekige driehoeken


Antwoord:
Verborgen inhoud
387 428 km

Uitwerking:
Verborgen inhoud

Geplaatste afbeelding (afb.14)
  • Stap 4: Kijk wat je hebt en wat je wilt weten, zoek daar de juiste formule bij. Dus sinus, cosinus of tangens;


    Ik ken een hoek en een Aanliggende zijde, en wil een Overstaande zijde weten.

    Dat wordt dus de TOA uit SOSCASTOA.

    tan(α) = O / A

  • Stap 5: Schrijf de formule om in de vorm waarin je het wilt weten;



    Bijvoorbeeld met de driehoekjesmethode:
    Geplaatste afbeelding Geplaatste afbeelding O = tan(α) x A

  • Stap 6: Reken het uit.


    maanafstand = tan(89,06°) x 6 356,7523 km = 387 428 km

Als je nu op internet gaat zoeken vind je allerlei getallen van minder dan 380 000 tot meer dan 400 000 km. Dat komt omdat de afstand Maan-Aarde niet steeds gelijk is.




11: Hellingproef

Geplaatste afbeelding (afb.15)

Een blok met een gewicht van 150 N ligt op een spiegelgladde wrijvingloze helling. De unster die voorkomt dat het blok langs de helling naar beneden glijdt geeft 50 N aan. Hoe groot is hoek α van de helling t.o.v. de horizontaal?

Ontbind Fz in twee componenten, haaks op de helling en in de langsrichting van de helling. De component langs de helling moet even groot zijn als de kracht van de unster. Daar kun je dus 50 N bij zetten. Kijk dan eens goed welke hoeken in de afbeelding dan nog meer gelijk zijn aan α.

Antwoord:
Verborgen inhoud
19,47°
Uitwerking:
Verborgen inhoud
Plaatje maken:

Geplaatste afbeelding (afb.16)
  • Stap 4: Kijk wat je hebt en wat je wilt weten, zoek daar de juiste formule bij. Dus sinus, cosinus of tangens;



    Ik ken de Overstaande van α en de Schuine zijde. Dat wordt dus de SOS uit SOSCASTOA

    sin(α) = O/S

  • Stap 5: Schrijf de formule om in de vorm waarin je het wilt weten;


    Hij staat al in de goede vorm

  • Stap 6: Reken het uit.


    sin(α) = O/S = 50/150 .

    Maar je moest (α) zélf hebben.
    (α) = bgsin( sin(α) ) = bgsin ( 50/150 ) = 19,47°

ALS WIJ JE GEHOLPEN HEBBEN....
help ons dan eiwitten vouwen, en help mee ziekten als kanker en zo te bestrijden in de vrije tijd van je chip...
http://www.wetenscha...showtopic=59270





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures