Springen naar inhoud

Een vrij deel van een vectorruimte?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

dzjeeaaan

    dzjeeaaan


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 januari 2008 - 16:20

De opdracht is:

Zij V de vectorruimte der continue reŽle functies. Ga na of de deelverzameling={cos x, sin x, x} van V een vrij deel is van V.


Ik dacht eerst dat de deelverzameling geen vrij deel was van V, want:

Als de deelverzameling van V een vrij deel is, dan geldt dus:

a*cos x + b*sin x + c*x = 0 a.s.a a = b = c = 0 (met a,b en c elementen van de reŽle getallen)

en stel x = 0, dan is a*cos(0) + b*sin(0) + c*0 = 0

moet dus toch enkel a = 0, aangezien sin(0) reeds 0 is.

Maar blijkbaar is de deelverzameling wel een vrij deel van V. Kan iemand mij helpen hoe je dat dan kan aantonen dat het wel een vrij deel is van V?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 januari 2008 - 16:33

Als de deelverzameling van V een vrij deel is, dan geldt dus:

a*cos x + b*sin x + c*x = 0 a.s.a a = b = c = 0 (met a,b en c elementen van de reŽle getallen)

De uitdrukking links moet gelden voor alle x, het volstaat dus niet om te kijken naar een bepaalde x-waarde.

Voorbeeld: zoals je misschien van veeltermen weet, is het stel {1,x,x≤,x≥,...} vrij. Nochtans krijg ik a*1+b*x = 0 zonder a ťn b 0 te moeten nemen, als ik naar bijvoorbeeld x = 0 of x = 1 kijk. Maar dat volstaat dus niet om te besluiten dat het stel niet vrij zou zijn, als je a*1+b*x = 0 wil voor alle x, moet a = b = 0.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

dzjeeaaan

    dzjeeaaan


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 januari 2008 - 16:47

En hoe kan ik dan hier vinden dat het wel een vrij deel is van V, want bij
vb. een deelverzameling={(1,0,-2,1),(2,1,3,5),(4,1,-1,1)} van de vectorruimte R^4:

a*(1,0,-2,1) + b*(2,1,3,5) + c*(4,1,-1,1) = (0,0,0,0)

a+2b+4c = 0 --> b=-c en a=4c en c =0 --> a=0; b=0; c=0 --> deelverzameling is een vrij deel
b+c = 0
-2b+3b-c =0
a+5b+c = 0

maar voor de deelverzameling{cosx, sinx,x} zou ik niet weten hoe ik dat dan kan aantonen dat het een vrij deel is.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 januari 2008 - 16:51

Voor functies is dat inderdaad wat moeilijk dan voor 'gewone vectoren'.
Je kan de Wronskiaan gebruiken, zie hiervoor bijvoorbeeld PlanetMath.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

dzjeeaaan

    dzjeeaaan


  • 0 - 25 berichten
  • 4 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 06 januari 2008 - 17:02

via de Wronksiaan, kan ik idd aantonen dat de deelverzameling een vrij deel is.
Bedankt!

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 06 januari 2008 - 17:31

Graag gedaan, succes nog!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures