Een vrij deel van een vectorruimte?

dzjeeaaan

De opdracht is:

Zij V de vectorruimte der continue reële functies. Ga na of de deelverzameling={cos x, sin x, x} van V een vrij deel is van V.

Ik dacht eerst dat de deelverzameling geen vrij deel was van V, want:

Als de deelverzameling van V een vrij deel is, dan geldt dus:

a*cos x + b*sin x + c*x = 0 a.s.a a = b = c = 0 (met a,b en c elementen van de reële getallen)

en stel x = 0, dan is a*cos(0) + b*sin(0) + c*0 = 0

moet dus toch enkel a = 0, aangezien sin(0) reeds 0 is.

Maar blijkbaar is de deelverzameling wel een vrij deel van V. Kan iemand mij helpen hoe je dat dan kan aantonen dat het wel een vrij deel is van V?

TD

dzjeeaaan schreef:Als de deelverzameling van V een vrij deel is, dan geldt dus:

a*cos x + b*sin x + c*x = 0 a.s.a a = b = c = 0 (met a,b en c elementen van de reële getallen)

De uitdrukking links moet gelden voor alle x, het volstaat dus niet om te kijken naar een bepaalde x-waarde.

Voorbeeld: zoals je misschien van veeltermen weet, is het stel {1,x,x²,x³,...} vrij. Nochtans krijg ik a*1+b*x = 0 zonder a én b 0 te moeten nemen, als ik naar bijvoorbeeld x = 0 of x = 1 kijk. Maar dat volstaat dus niet om te besluiten dat het stel niet vrij zou zijn, als je a*1+b*x = 0 wil voor alle x, moet a = b = 0.

dzjeeaaan

En hoe kan ik dan hier vinden dat het wel een vrij deel is van V, want bij

vb. een deelverzameling={(1,0,-2,1),(2,1,3,5),(4,1,-1,1)} van de vectorruimte R^4:

a*(1,0,-2,1) + b*(2,1,3,5) + c*(4,1,-1,1) = (0,0,0,0)

a+2b+4c = 0 --> b=-c en a=4c en c =0 --> a=0; b=0; c=0 --> deelverzameling is een vrij deel

b+c = 0

-2b+3b-c =0

a+5b+c = 0

maar voor de deelverzameling{cosx, sinx,x} zou ik niet weten hoe ik dat dan kan aantonen dat het een vrij deel is.

TD

Voor functies is dat inderdaad wat moeilijk dan voor 'gewone vectoren'.

Je kan de Wronskiaan gebruiken, zie hiervoor bijvoorbeeld PlanetMath.

dzjeeaaan

via de Wronksiaan, kan ik idd aantonen dat de deelverzameling een vrij deel is.

Bedankt!

TD

Graag gedaan, succes nog!

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Een vrij deel van een vectorruimte?

Een vrij deel van een vectorruimte?

Re: Een vrij deel van een vectorruimte?

Re: Een vrij deel van een vectorruimte?

Re: Een vrij deel van een vectorruimte?

Re: Een vrij deel van een vectorruimte?

Re: Een vrij deel van een vectorruimte?