Springen naar inhoud

Stelsel oplossen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Ensiferum

    Ensiferum


  • >250 berichten
  • 662 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 08 januari 2008 - 18:46

Op het examen vandaag ben ik verschillende keren de mist in gegaan bij het oplossen van stelsels. Ik ken de technieken (matrices, combinatie, gelijkstelling, etc.), maar ik stuitte op stelsels waar de matrixmanier niet werkt en de anderen gaven zo een ingewikkelde uitwerking dat ik de draad verloor (naast een acuut tijdsgebrek).

De eerste oefening was (de coëfficiënten zijn hier lukraak gekozen, de juiste weet ik niet meer, ze waren wel allemaal reëel):

Z^5 + 3Z^4 - 4Z^3 - 9Z^2 + 2mZ - 5m = 0

Bepaal dan m en alle wortels, als een wortel zuiver imaginair is, een andere complex en niet zuiver, met als imaginaire component het dubbele van de enige reële wortel. Dus dan krijg je:
(Z - Ai)(Z + Ai)(Z - B - Ci)(Z - B + Ci)(Z - C/2)
Bij deze uitwerking krijg je, na overeenstemmen met de originele vergelijking, een (ingewikkeld) stelsel van 5 vergelijkingen met 4 onbekenden A, B, C en m. Ik probeerde via substituties één onbekende te bepalen, maar dan kwam ik uit op een ingewikkelde waarde met enkele hoge wortels. Door tijdsgebrek ben ik dan maar aan de anderen verder beginnen werken.

Is er een snellere manier om zo'n stelsel op te lossen dan eindeloos substitueren, omrekenen en goochelen met gruwelijke wortels? Door de aanwezigheid van dubbeltermen en kwadraten kon ik geen matrices gebruiken.

En nog iets heel anders: als je bij het bepalen van de eigenwaarden van een kwadriek in de ruimte op een dubbele eigenwaarde stuit, hoe bepaal je dan de eigenvectoren van die eigenwaarde (na de eerste)?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2008 - 15:41

Je aanpak is nochtans goed, maar dat levert inderdaad een vervelend stelsel.
Misschien is er een elegantere aanpak, maar ik kom er nu even niet op...

En nog iets heel anders: als je bij het bepalen van de eigenwaarden van een kwadriek in de ruimte op een dubbele eigenwaarde stuit, hoe bepaal je dan de eigenvectoren van die eigenwaarde (na de eerste)?

Een eigenwaarde met algebraïsche multipliciteit n (n>1) heeft niet altijd n lineair onafhankelijke eigenvectoren (het aantal m, dat maximaal gelijk kan zijn aan n, heet de meetkundige multiplicteit). Je bepaalt alle lineair onafhankelijke eigenvectoren horend bij één (eventueel meervoudige) eigenwaarde samen, door die eigenwaarde in te vullen en het stelsel dat je krijgt (zoals gewoonlijk) op te lossen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Ensiferum

    Ensiferum


  • >250 berichten
  • 662 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2008 - 20:31

Een eigenwaarde met algebraïsche multipliciteit n (n>1) heeft niet altijd n lineair onafhankelijke eigenvectoren (het aantal m, dat maximaal gelijk kan zijn aan n, heet de meetkundige multiplicteit). Je bepaalt alle lineair onafhankelijke eigenvectoren horend bij één (eventueel meervoudige) eigenwaarde samen, door die eigenwaarde in te vullen en het stelsel dat je krijgt (zoals gewoonlijk) op te lossen.

Hoe kom je dan tot de rotatieformules? Stel, ik kom na invullen van de dubbele eigenwaarde tot de matrix:

(-1 0 -1)
(0 0 0)
(-1 0 -1)

Wat geeft: -X-Z=0 en dus met genormeerde eigenvector: (1/V2 0 -1/V2)

Maar hoe stel ik dan de matrix op, normaal met de drie eigenvectoren, om de rotatieformules te vinden?
Normaal krijg ik er één van de vorm:

(a b c)
(d e f)
(g h i)

Met X=aX' + bY' + cZ' en analoog voor Y en Z.
Als ik dan maar twee vectoren heb, welke variabele valt dan weg? Als ik een vector er twee keer inzet dan is de determinant immers gelijk aan 0 en niet aan 1 of -1, zodat ik niet kan zien of mijn vectoren in juiste volgorde staan.

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2008 - 14:37

Hoe kom je dan tot de rotatieformules? Stel, ik kom na invullen van de dubbele eigenwaarde tot de matrix:

(-1 0 -1)
(0 0 0)
(-1 0 -1)

Wat geeft: -X-Z=0 en dus met genormeerde eigenvector: (1/V2 0 -1/V2)

Als dit de matrix A is, dan zoek je oplossingen (vectoren x) die voldoen aan: Ax = 0.
Je kan hier twee lineair onafhankelijke vectoren uithalen, een is inderdaad (1,0,-1).
De andere is (0,1,0). Zie je dat deze ook voldoet en bovendien lineair onafhankelijk is?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Ensiferum

    Ensiferum


  • >250 berichten
  • 662 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2008 - 23:08

Als dit de matrix A is, dan zoek je oplossingen (vectoren x) die voldoen aan: Ax = 0.
Je kan hier twee lineair onafhankelijke vectoren uithalen, een is inderdaad (1,0,-1).
De andere is (0,1,0). Zie je dat deze ook voldoet en bovendien lineair onafhankelijk is?

Ja. En ik voel me ongelooflijk dom op dit moment. :D

9 puntjes weggegooid...

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2008 - 23:11

Dat is wel erg jammer :D Volgende keer beter :D
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures