Op het examen vandaag ben ik verschillende keren de mist in gegaan bij het oplossen van stelsels. Ik ken de technieken (matrices, combinatie, gelijkstelling, etc.), maar ik stuitte op stelsels waar de matrixmanier niet werkt en de anderen gaven zo een ingewikkelde uitwerking dat ik de draad verloor (naast een acuut tijdsgebrek).
De eerste oefening was (de coëfficiënten zijn hier lukraak gekozen, de juiste weet ik niet meer, ze waren wel allemaal reëel):
Z^5 + 3Z^4 - 4Z^3 - 9Z^2 + 2mZ - 5m = 0
Bepaal dan m en alle wortels, als een wortel zuiver imaginair is, een andere complex en niet zuiver, met als imaginaire component het dubbele van de enige reële wortel. Dus dan krijg je:
(Z - Ai)(Z + Ai)(Z - B - Ci)(Z - B + Ci)(Z - C/2)
Bij deze uitwerking krijg je, na overeenstemmen met de originele vergelijking, een (ingewikkeld) stelsel van 5 vergelijkingen met 4 onbekenden A, B, C en m. Ik probeerde via substituties één onbekende te bepalen, maar dan kwam ik uit op een ingewikkelde waarde met enkele hoge wortels. Door tijdsgebrek ben ik dan maar aan de anderen verder beginnen werken.
Is er een snellere manier om zo'n stelsel op te lossen dan eindeloos substitueren, omrekenen en goochelen met gruwelijke wortels? Door de aanwezigheid van dubbeltermen en kwadraten kon ik geen matrices gebruiken.
En nog iets heel anders: als je bij het bepalen van de eigenwaarden van een kwadriek in de ruimte op een dubbele eigenwaarde stuit, hoe bepaal je dan de eigenvectoren van die eigenwaarde (na de eerste)?
Laatste berichten
-
11:01
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 1
-
10:50
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 12
-
10:42
projectiel 8
-
10:37
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
09:48
Schroefdraad berekening 4
-
09:25
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
19:29
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
17:23
Rotatie van het heelal 41
-
12:15
Weerfrustratie 5
-
11:55
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
-
20 apr
Stank rotte eieren uit de warmwaterboiler 11
-
20 apr
Nut warmtepomp 18
-
20 apr
Airco bevriezings kans berekenen. 17
-
19 apr
Ik wil studeren via afstandsonderwijs, kennen jullie Tech?
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Stelsel oplossen
-
- Berichten: 24.578
Re: Stelsel oplossen
Je aanpak is nochtans goed, maar dat levert inderdaad een vervelend stelsel.
Misschien is er een elegantere aanpak, maar ik kom er nu even niet op...
Misschien is er een elegantere aanpak, maar ik kom er nu even niet op...
Een eigenwaarde met algebraïsche multipliciteit n (n>1) heeft niet altijd n lineair onafhankelijke eigenvectoren (het aantal m, dat maximaal gelijk kan zijn aan n, heet de meetkundige multiplicteit). Je bepaalt alle lineair onafhankelijke eigenvectoren horend bij één (eventueel meervoudige) eigenwaarde samen, door die eigenwaarde in te vullen en het stelsel dat je krijgt (zoals gewoonlijk) op te lossen.En nog iets heel anders: als je bij het bepalen van de eigenwaarden van een kwadriek in de ruimte op een dubbele eigenwaarde stuit, hoe bepaal je dan de eigenvectoren van die eigenwaarde (na de eerste)?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 662
Re: Stelsel oplossen
Hoe kom je dan tot de rotatieformules? Stel, ik kom na invullen van de dubbele eigenwaarde tot de matrix:Een eigenwaarde met algebraïsche multipliciteit n (n>1) heeft niet altijd n lineair onafhankelijke eigenvectoren (het aantal m, dat maximaal gelijk kan zijn aan n, heet de meetkundige multiplicteit). Je bepaalt alle lineair onafhankelijke eigenvectoren horend bij één (eventueel meervoudige) eigenwaarde samen, door die eigenwaarde in te vullen en het stelsel dat je krijgt (zoals gewoonlijk) op te lossen.
(-1 0 -1)
(0 0 0)
(-1 0 -1)
Wat geeft: -X-Z=0 en dus met genormeerde eigenvector: (1/V2 0 -1/V2)
Maar hoe stel ik dan de matrix op, normaal met de drie eigenvectoren, om de rotatieformules te vinden?
Normaal krijg ik er één van de vorm:
(a b c)
(d e f)
(g h i)
Met X=aX' + bY' + cZ' en analoog voor Y en Z.
Als ik dan maar twee vectoren heb, welke variabele valt dan weg? Als ik een vector er twee keer inzet dan is de determinant immers gelijk aan 0 en niet aan 1 of -1, zodat ik niet kan zien of mijn vectoren in juiste volgorde staan.
-
- Berichten: 24.578
Re: Stelsel oplossen
Als dit de matrix A is, dan zoek je oplossingen (vectoren x) die voldoen aan: Ax = 0.Ensiferum schreef:Hoe kom je dan tot de rotatieformules? Stel, ik kom na invullen van de dubbele eigenwaarde tot de matrix:
(-1 0 -1)
(0 0 0)
(-1 0 -1)
Wat geeft: -X-Z=0 en dus met genormeerde eigenvector: (1/V2 0 -1/V2)
Je kan hier twee lineair onafhankelijke vectoren uithalen, een is inderdaad (1,0,-1).
De andere is (0,1,0). Zie je dat deze ook voldoet en bovendien lineair onafhankelijk is?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 662
Re: Stelsel oplossen
Ja. En ik voel me ongelooflijk dom op dit moment.TD schreef:Als dit de matrix A is, dan zoek je oplossingen (vectoren x) die voldoen aan: Ax = 0.
Je kan hier twee lineair onafhankelijke vectoren uithalen, een is inderdaad (1,0,-1).
De andere is (0,1,0). Zie je dat deze ook voldoet en bovendien lineair onafhankelijk is?
9 puntjes weggegooid...
-
- Berichten: 24.578
Re: Stelsel oplossen
Dat is wel erg jammer Volgende keer beter
Volgende keer beter "Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
