Springen naar inhoud

Positieve machtreeksen vs negatieve machtreeksen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2008 - 00:48

Hallo,

Ik zit met volgend probleem over machtreeksen:

Zo zie ik het op het moment..

Als een analytische functie ontwikkelbaar is naar een positieve machtreeks, dan wil dit zeggen dat binnen een bepaalde convergentiestraal R de positieve machtreeks convergeert en dat buiten deze straal de positieve machtreeks divergeert. Nu zit ik bij het volgende vast. Stel nu dat je positieve machtreeks niet convergeert (wat wil zeggen dat je functie niet analytisch is), dan is deze functie toch ook niet ontwikkelbaar naar een negatieve machtreeks of wel?

Het kan natuurlijk zijn dat de vraag op zich verkeerd is en dat ik enkele redeneringen mis, dus zou iemand mij daarom klaar en duidelijk kunnen zeggen waar ik verkeerd zit en hoe ik dit moet benaderen.

Alvast bedankt

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2008 - 12:31

Een functie is analytisch in een punt als deze in een omgeving van dat punt gegeven kan worden door een (convergente) machtreeks. Die machtreeks hoeft niet noodzakelijk enkel positieve of negatieve termen te bevatten, dat zijn speciale gevallen van reeksen die je kan beschouwen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2008 - 13:33

Als die functie niet kan gegeven worden door een positieve machtreeks, kan die dan wel worden gegeven dan een negatieve machtreeks?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2008 - 13:57

Die vraag heeft niks met analyciteit te maken, daarvoor volstaat het dat er een machtreeks bestaat die convergeert.

Ik begrijp eerlijk gezegd niet gaat waar je heen wil met je vraag, of wat je precies bedoelt. Er zijn functies die niet analytisch zijn (daar werkt dus noch een positieve, noch een negatieve of gemengde reeks) en er zijn functies waarvoor de convergente reeks uit positieve termen bestaat, negatieve termen en gemengd.
Je kent wellicht de reeks voor f(x) = exp(x), de coŽfficiŽnten hiervan zijn allemaal positief. Hoe zit dat met f(x) = exp(-x) of f(x) = -exp(x)?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2008 - 14:23

de coefficiŽnten zijn 1 en -1, als ik het goed heb.

Wat ik bedoelde met mijn vraag..Ik was me het volgende aan het voorstellen:

Je hebt een analytische functie waarnaar een positieve machtreeks convergeert binnen een bepaalde convergentiestraal. De negatieve machtreeks convergeert in het complement van de cirkel waar de positieve machtreeks convergeert. Nu vroeg ik mij af als die cirkel waar de positieve machtreeks convergeert niet bestaat: heb je dan nog een negatieve machtreeks die convergeert? Is het maw mogelijk om een analytische functie te hebben waarnaar geen postieve machtreeks convergeert, maar wel een negatieve machtreeks. Ik lees bij uw vorige post dat dit mogelijk is. Kan je dan een voorbeeldje geven?

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2008 - 14:31

de coefficiŽnten zijn 1 en -1, als ik het goed heb.

Ik vraag me af waarop dit precies een antwoord is, maar in een reeks heb je oneindig veel coŽfficiŽnten.
Waar ik op doelde:

LaTeX

LaTeX

LaTeX

De eerste heeft allemaal positieve coŽfficiŽnten, de tweede alternerend en de derde allemaal negatief. De drie functies zijn analytisch op heel :D, nochtans wordt bijvoorbeeld de middelste niet gegeven door een positieve machtreeks (of bedoel jij iets anders met positieve machtreeks?)...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2008 - 14:43

Waarom wordt die middelste niet gegeven door een positieve machtreeks?

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2008 - 14:44

Daarom vroeg ik: wat bedoel je eigenlijk met een "positieve reeks"?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2008 - 14:53

De definitie die ik ken is zoals je zegt:

Een functie is analytisch in een punt als deze in een omgeving van dat punt gegeven kan worden door een (convergente) machtreeks.

Ik denk dat we wel op dezelfde golflengte zitten, maar ik heb het gewoon nog niet volledig door

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2008 - 14:55

De definitie die ik ken is zoals je zegt:

Een functie is analytisch in een punt als deze in een omgeving van dat punt gegeven kan worden door een (convergente) machtreeks.

Inderdaad, zo heb ik het ook eerder geschreven. Maar hier komt nergens de term "positieve (of negatieve) machtreeks" in voor, vandaar dat ik me afvraag wat je daarmee bedoelt. Hoe is dat gedefinieerd in je cursus? Misschien zitten we wat die termen betreft, niet op dezelfde golflengte :D
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2008 - 15:13

Dit komt rechtsreeks uit de cursus: (z0) is een vast punt in het complex vlak)

PMR:(positieve machtreeks)

Als voor de PMR Σan(z-z0)n, de numerieke rij |an|1/n begrensd is , dan stelt men :

ρ= lim sup (|an|1/n)

is de numerieke rij (|an|1/n) niet begrensd, dan stelt men, symbolisch,

ρ= +:D

De convergentiestraal R van de beschouwde PMR is dan gedefinieerd door

R=0 als ρ=+:D
R=1/ρ als 0<ρ<+:D
R=+:( als ρ=0

en voor negatieve machtreeksen analoog enkel in plaats van Σan(z-z0)n staat er
Σbn1/(z-z0)n

Veranderd door Scofield, 09 januari 2008 - 15:23


#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2008 - 15:23

Dan hebben we het niet over hetzelfde... Een positieve reeks is een reeks die bestaat uit allemaal positieve termen. Ik veronderstelde dat je van een positieve machtreeks sprak, als de coŽfficiŽnten van de machtreeks (de a_i's) positief waren. Dat is dus niet het geval, je hebt het over positieve machtreeksen indien de de exponenten van x steeds steeds positief (en natuurlijk) zijn. Omgekeerd voor negatieve machtreeksen, dan heb je allemaal negatieve exponenten van x.

Zie je dit in het kader van reŽle reeksen? Meestal kom je de reeksen met negatieve exponenten in x pas tegen als je met complexe reeksen gaat werken (veralgemening van de gewone, positieve reeksen zijn dan de Laurentreeksen waar zowel positieve als negatieve machten in x voorkomen).

Edit: waarschijnlijk heb je dit net aangevuld, ik zie dat je het nu over complexe z hebt, dus complexe reeksen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2008 - 16:02

Dus we waren niet over hetzelfde bezig...

Dan herneem ik mijn eerste vraag: Is het mogelijk om een functie in C te ontwikkelen naar een negatieve machtreeks, maar niet naar een positieve?

Ik dacht altijd dat ze elkaars complement waren en dat als de PMR niet bestaat de NMR niet bestaat, maar onlangs ben ik aan het twijfelen gebracht geweest. Ik zou hier graag wat duidelijkheid omtrent willen.

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2008 - 16:10

Ik zie nog altijd niet goed in waarom je die strikte scheiding maakt, in het algemeen zal de reeksontwikkeling van een complexe functie zowel een positief (in machten) deel bevatten, als een negatief deel. De convergentie van het positief gedeelte is steeds gegarandeerd in een cirkelvormig gebied met als straal de convergentie straal, zoals gewoon bij Taylor. Het convergentiegebied van het negatief gedeelte is steeds gegarandeerd buiten een cirkelvormige gebied, maar deze cirkel heeft niet noodzakelijk dezelfde straal!

Je moet je voor het convergentiegebied dus twee cirkels voorstellen met convergentiestraal a voor het positief deel (dan convergentie in het gebied |z-c| < a) en b voor het negatief deel (dan convergentie in het gebied |z-c| > b). Als nu a > b, dan is er een stuk overlap in de convergentiegebieden. De totale reeks convergeert dan over b < |z-c| < a. Het is maar in speciale gevallen dat de reeks enkel uit een positief (of negatief) deel zal bestaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2008 - 17:18

Ah zo, dus ze moeten niet elkaars complement zijn. Dus het is mogelijk om een analytische functie te schrijven (na ontikkeling) als een negatieve machtreeks, maar niet als positieve machtreeks.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures