Hallo,
Ik zit met volgend probleem over machtreeksen:
Zo zie ik het op het moment..
Als een analytische functie ontwikkelbaar is naar een positieve machtreeks, dan wil dit zeggen dat binnen een bepaalde convergentiestraal R de positieve machtreeks convergeert en dat buiten deze straal de positieve machtreeks divergeert. Nu zit ik bij het volgende vast. Stel nu dat je positieve machtreeks niet convergeert (wat wil zeggen dat je functie niet analytisch is), dan is deze functie toch ook niet ontwikkelbaar naar een negatieve machtreeks of wel?
Het kan natuurlijk zijn dat de vraag op zich verkeerd is en dat ik enkele redeneringen mis, dus zou iemand mij daarom klaar en duidelijk kunnen zeggen waar ik verkeerd zit en hoe ik dit moet benaderen.
Alvast bedankt
Laatste berichten
-
18:32
Aardlek-schakelaar 1
-
16:45
wig 8
-
15:56
Programmeren met vectoren 6
-
14:53
Straatklok loopt 5 minuten voor 12
-
23:12
speciale rel. theorie 10
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
22:24
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 10
-
25 apr
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
25 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
25 apr
Rood laserlicht 3
-
25 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
25 apr
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
25 apr
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
25 apr
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
25 apr
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
25 apr
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Positieve machtreeksen vs negatieve machtreeksen
-
- Berichten: 24.578
Re: Positieve machtreeksen vs negatieve machtreeksen
Een functie is analytisch in een punt als deze in een omgeving van dat punt gegeven kan worden door een (convergente) machtreeks. Die machtreeks hoeft niet noodzakelijk enkel positieve of negatieve termen te bevatten, dat zijn speciale gevallen van reeksen die je kan beschouwen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 355
Re: Positieve machtreeksen vs negatieve machtreeksen
Als die functie niet kan gegeven worden door een positieve machtreeks, kan die dan wel worden gegeven dan een negatieve machtreeks?
-
- Berichten: 24.578
Re: Positieve machtreeksen vs negatieve machtreeksen
Die vraag heeft niks met analyciteit te maken, daarvoor volstaat het dat er een machtreeks bestaat die convergeert.
Ik begrijp eerlijk gezegd niet gaat waar je heen wil met je vraag, of wat je precies bedoelt. Er zijn functies die niet analytisch zijn (daar werkt dus noch een positieve, noch een negatieve of gemengde reeks) en er zijn functies waarvoor de convergente reeks uit positieve termen bestaat, negatieve termen en gemengd.
Je kent wellicht de reeks voor f(x) = exp(x), de coëfficiënten hiervan zijn allemaal positief. Hoe zit dat met f(x) = exp(-x) of f(x) = -exp(x)?
Ik begrijp eerlijk gezegd niet gaat waar je heen wil met je vraag, of wat je precies bedoelt. Er zijn functies die niet analytisch zijn (daar werkt dus noch een positieve, noch een negatieve of gemengde reeks) en er zijn functies waarvoor de convergente reeks uit positieve termen bestaat, negatieve termen en gemengd.
Je kent wellicht de reeks voor f(x) = exp(x), de coëfficiënten hiervan zijn allemaal positief. Hoe zit dat met f(x) = exp(-x) of f(x) = -exp(x)?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 355
Re: Positieve machtreeksen vs negatieve machtreeksen
de coefficiënten zijn 1 en -1, als ik het goed heb.
Wat ik bedoelde met mijn vraag..Ik was me het volgende aan het voorstellen:
Je hebt een analytische functie waarnaar een positieve machtreeks convergeert binnen een bepaalde convergentiestraal. De negatieve machtreeks convergeert in het complement van de cirkel waar de positieve machtreeks convergeert. Nu vroeg ik mij af als die cirkel waar de positieve machtreeks convergeert niet bestaat: heb je dan nog een negatieve machtreeks die convergeert? Is het maw mogelijk om een analytische functie te hebben waarnaar geen postieve machtreeks convergeert, maar wel een negatieve machtreeks. Ik lees bij uw vorige post dat dit mogelijk is. Kan je dan een voorbeeldje geven?
Wat ik bedoelde met mijn vraag..Ik was me het volgende aan het voorstellen:
Je hebt een analytische functie waarnaar een positieve machtreeks convergeert binnen een bepaalde convergentiestraal. De negatieve machtreeks convergeert in het complement van de cirkel waar de positieve machtreeks convergeert. Nu vroeg ik mij af als die cirkel waar de positieve machtreeks convergeert niet bestaat: heb je dan nog een negatieve machtreeks die convergeert? Is het maw mogelijk om een analytische functie te hebben waarnaar geen postieve machtreeks convergeert, maar wel een negatieve machtreeks. Ik lees bij uw vorige post dat dit mogelijk is. Kan je dan een voorbeeldje geven?
-
- Berichten: 24.578
Re: Positieve machtreeksen vs negatieve machtreeksen
Ik vraag me af waarop dit precies een antwoord is, maar in een reeks heb je oneindig veel coëfficiënten.de coefficiënten zijn 1 en -1, als ik het goed heb.
Waar ik op doelde:
\(e^x = 1 + x + \frac{{x^2 }}{2} + \frac{{x^3 }}{6} + \ldots \)
\(e^{ - x} = 1 - x + \frac{{x^2 }}{2} - \frac{{x^3 }}{6} + \ldots \)
\( - e^x = - 1 - x - \frac{{x^2 }}{2} - \frac{{x^3 }}{6} - \ldots \)
De eerste heeft allemaal positieve coëfficiënten, de tweede alternerend en de derde allemaal negatief. De drie functies zijn analytisch op heel 
, nochtans wordt bijvoorbeeld de middelste niet gegeven door een positieve machtreeks (of bedoel jij iets anders met positieve machtreeks?)..."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 355
Re: Positieve machtreeksen vs negatieve machtreeksen
Waarom wordt die middelste niet gegeven door een positieve machtreeks?
-
- Berichten: 24.578
Re: Positieve machtreeksen vs negatieve machtreeksen
Daarom vroeg ik: wat bedoel je eigenlijk met een "positieve reeks"?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 355
Re: Positieve machtreeksen vs negatieve machtreeksen
De definitie die ik ken is zoals je zegt:
Een functie is analytisch in een punt als deze in een omgeving van dat punt gegeven kan worden door een (convergente) machtreeks.
Ik denk dat we wel op dezelfde golflengte zitten, maar ik heb het gewoon nog niet volledig door
Een functie is analytisch in een punt als deze in een omgeving van dat punt gegeven kan worden door een (convergente) machtreeks.
Ik denk dat we wel op dezelfde golflengte zitten, maar ik heb het gewoon nog niet volledig door
-
- Berichten: 24.578
Re: Positieve machtreeksen vs negatieve machtreeksen
Inderdaad, zo heb ik het ook eerder geschreven. Maar hier komt nergens de term "positieve (of negatieve) machtreeks" in voor, vandaar dat ik me afvraag wat je daarmee bedoelt. Hoe is dat gedefinieerd in je cursus? Misschien zitten we wat die termen betreft, niet op dezelfde golflengteScofield schreef:De definitie die ik ken is zoals je zegt:
Een functie is analytisch in een punt als deze in een omgeving van dat punt gegeven kan worden door een (convergente) machtreeks.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 355
Re: Positieve machtreeksen vs negatieve machtreeksen
Dit komt rechtsreeks uit de cursus: (z0) is een vast punt in het complex vlak)
PMR:(positieve machtreeks)
Als voor de PMR Σan(z-z0)n, de numerieke rij |an|1/n begrensd is , dan stelt men :
ρ= lim sup (|an|1/n)
is de numerieke rij (|an|1/n) niet begrensd, dan stelt men, symbolisch,
ρ= +
De convergentiestraal R van de beschouwde PMR is dan gedefinieerd door
R=0 als ρ=+
R=1/ρ als 0<ρ<+
R=+
als ρ=0
en voor negatieve machtreeksen analoog enkel in plaats van Σan(z-z0)n staat er
Σbn1/(z-z0)n
PMR:(positieve machtreeks)
Als voor de PMR Σan(z-z0)n, de numerieke rij |an|1/n begrensd is , dan stelt men :
ρ= lim sup (|an|1/n)
is de numerieke rij (|an|1/n) niet begrensd, dan stelt men, symbolisch,
ρ= +
De convergentiestraal R van de beschouwde PMR is dan gedefinieerd door
R=0 als ρ=+
R=1/ρ als 0<ρ<+
R=+
als ρ=0en voor negatieve machtreeksen analoog enkel in plaats van Σan(z-z0)n staat er
Σbn1/(z-z0)n
-
- Berichten: 24.578
Re: Positieve machtreeksen vs negatieve machtreeksen
Dan hebben we het niet over hetzelfde... Een positieve reeks is een reeks die bestaat uit allemaal positieve termen. Ik veronderstelde dat je van een positieve machtreeks sprak, als de coëfficiënten van de machtreeks (de a_i's) positief waren. Dat is dus niet het geval, je hebt het over positieve machtreeksen indien de de exponenten van x steeds steeds positief (en natuurlijk) zijn. Omgekeerd voor negatieve machtreeksen, dan heb je allemaal negatieve exponenten van x.
Zie je dit in het kader van reële reeksen? Meestal kom je de reeksen met negatieve exponenten in x pas tegen als je met complexe reeksen gaat werken (veralgemening van de gewone, positieve reeksen zijn dan de Laurentreeksen waar zowel positieve als negatieve machten in x voorkomen).
Edit: waarschijnlijk heb je dit net aangevuld, ik zie dat je het nu over complexe z hebt, dus complexe reeksen.
Zie je dit in het kader van reële reeksen? Meestal kom je de reeksen met negatieve exponenten in x pas tegen als je met complexe reeksen gaat werken (veralgemening van de gewone, positieve reeksen zijn dan de Laurentreeksen waar zowel positieve als negatieve machten in x voorkomen).
Edit: waarschijnlijk heb je dit net aangevuld, ik zie dat je het nu over complexe z hebt, dus complexe reeksen.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 355
Re: Positieve machtreeksen vs negatieve machtreeksen
Dus we waren niet over hetzelfde bezig...
Dan herneem ik mijn eerste vraag: Is het mogelijk om een functie in C te ontwikkelen naar een negatieve machtreeks, maar niet naar een positieve?
Ik dacht altijd dat ze elkaars complement waren en dat als de PMR niet bestaat de NMR niet bestaat, maar onlangs ben ik aan het twijfelen gebracht geweest. Ik zou hier graag wat duidelijkheid omtrent willen.
Dan herneem ik mijn eerste vraag: Is het mogelijk om een functie in C te ontwikkelen naar een negatieve machtreeks, maar niet naar een positieve?
Ik dacht altijd dat ze elkaars complement waren en dat als de PMR niet bestaat de NMR niet bestaat, maar onlangs ben ik aan het twijfelen gebracht geweest. Ik zou hier graag wat duidelijkheid omtrent willen.
-
- Berichten: 24.578
Re: Positieve machtreeksen vs negatieve machtreeksen
Ik zie nog altijd niet goed in waarom je die strikte scheiding maakt, in het algemeen zal de reeksontwikkeling van een complexe functie zowel een positief (in machten) deel bevatten, als een negatief deel. De convergentie van het positief gedeelte is steeds gegarandeerd in een cirkelvormig gebied met als straal de convergentie straal, zoals gewoon bij Taylor. Het convergentiegebied van het negatief gedeelte is steeds gegarandeerd buiten een cirkelvormige gebied, maar deze cirkel heeft niet noodzakelijk dezelfde straal!
Je moet je voor het convergentiegebied dus twee cirkels voorstellen met convergentiestraal a voor het positief deel (dan convergentie in het gebied |z-c| < a) en b voor het negatief deel (dan convergentie in het gebied |z-c| > b). Als nu a > b, dan is er een stuk overlap in de convergentiegebieden. De totale reeks convergeert dan over b < |z-c| < a. Het is maar in speciale gevallen dat de reeks enkel uit een positief (of negatief) deel zal bestaan.
Je moet je voor het convergentiegebied dus twee cirkels voorstellen met convergentiestraal a voor het positief deel (dan convergentie in het gebied |z-c| < a) en b voor het negatief deel (dan convergentie in het gebied |z-c| > b). Als nu a > b, dan is er een stuk overlap in de convergentiegebieden. De totale reeks convergeert dan over b < |z-c| < a. Het is maar in speciale gevallen dat de reeks enkel uit een positief (of negatief) deel zal bestaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 355
Re: Positieve machtreeksen vs negatieve machtreeksen
Ah zo, dus ze moeten niet elkaars complement zijn. Dus het is mogelijk om een analytische functie te schrijven (na ontikkeling) als een negatieve machtreeks, maar niet als positieve machtreeks.
