Springen naar inhoud

Bewijs niet-triviale oplossing stelsel


  • Log in om te kunnen reageren

#1

eXorikos

    eXorikos


  • >100 berichten
  • 134 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2008 - 15:47

In onze cursus staan bewijzen niet altijd uitgewerkt, maar als opgave. Nu luidt de opgave als volgt:
Bewijs dat het stelsel van drie homogene lineaire vergelijkingen

a1*x1 + b1*x2 + c1*x3 + d1*x4 = 0
a2*x1 + b2*x2 + c2*x3 + d2*x4 = 0
a3*x1 + b3*x2 + c3*x3 + d3*x4 = 0

in de onbekenden x1, x2, x3 en x4, waarbij ai, bi, ci en di vaste reŽle getallen zijn, een niet-triviale opssing heeft. Gebruik hierbij het argument over lineaire afhankelijkheid in de vectorruimte R≥.

Ik kom zelf niet verder dan dat een van de vier vectoren (a, b, c of d) een lineaire combinatie is van de anderen.

Hoe moet her verder?

Later moeten we het nog veralgemenen, dus gelieve daar nog niet verder op in te gaan. :D

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2008 - 16:38

Als je een argument van lineaire afhankelijkheid moet gebruiken in R≥, dan kan je het niet over vectoren (x1,x2,x3,x4) of (a,b,c,d) hebben, die zitten niet in R≥. Voor (a,b,c,d) lijkt me dat trouwens weinig zin te hebben, dat zijn je vaste coŽfficiŽnten.

Als je je stelsel in matrixvorm bekijkt, vormen de kolommen wel vectoren in R≥; namelijk (a1,a2,a3), (b1,b2,b3), (c1,c2,c3) en (d1,d2,d3). Wellicht is het nu de bedoeling dat je het volgende gebruikt: in R≥ kunnen maximaal 3 vectoren lineair onafhankelijk zijn, deze vier zijn dus zeker lineair afhankelijk.

Maar wat betekent dit? Wel: dat je de nulvector kan schrijven als een lineaire combinatie van deze kolommen, zonder dat alle coŽfficiŽnten 0 moeten zijn. En dat levert precies een niet-triviale oplossing voor dit homogene stelsel, zie je?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

eXorikos

    eXorikos


  • >100 berichten
  • 134 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2008 - 16:50

Als je een argument van lineaire afhankelijkheid moet gebruiken in R≥, dan kan je het niet over vectoren (x1,x2,x3,x4) of (a,b,c,d) hebben, die zitten niet in R≥. Voor (a,b,c,d) lijkt me dat trouwens weinig zin te hebben, dat zijn je vaste coŽfficiŽnten.

Als je je stelsel in matrixvorm bekijkt, vormen de kolommen wel vectoren in R≥; namelijk (a1,a2,a3), (b1,b2,b3), (c1,c2,c3) en (d1,d2,d3). Wellicht is het nu de bedoeling dat je het volgende gebruikt: in R≥ kunnen maximaal 3 vectoren lineair onafhankelijk zijn, deze vier zijn dus zeker lineair afhankelijk.

Maar wat betekent dit? Wel: dat je de nulvector kan schrijven als een lineaire combinatie van deze kolommen, zonder dat alle coŽfficiŽnten 0 moeten zijn. En dat levert precies een niet-triviale oplossing voor dit homogene stelsel, zie je?


Dat waren de vectoren die ik bedoelde met a, b, c en d. Had geen zin het helemaal uit te typen. :D Het heeft inderdaad geen zin die afhankelijkheid te willen uitschrijven in termen van die vectoren.

Bedankt ! ^^

Veranderd door eXorikos, 09 januari 2008 - 17:02


#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2008 - 16:51

Okť, dan was het al logischer :D

Veralgemenen is nu niet moeilijk, als je een homogeen stelsel hebt met n vergelijkingen en n+1 onbekenden.
Dan heb je dus n+1 kolomvectoren in de ruimte R^n, dus lineair afhankelijk, dus er bestaan coŽfficiŽnten...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2008 - 17:04

Veralgemenen is nu niet moeilijk, als je een homogeen stelsel hebt met n vergelijkingen en n+1 onbekenden.
Dan heb je dus n+1 kolomvectoren in de ruimte R^n, dus lineair afhankelijk, dus er bestaan coŽfficiŽnten...

Of anders gezegd:

Je hebt een homogeen stelsel met m vergelijkingen en n onbekenden en m < n. Je schrijft dat stelsel als een matrix A, waarvan matrix B de rijgereduceerde echelonvorm is. Dan heeft B een kolom zonder leidende 1, wat wilt zeggen dat we een parameter en dus een niet-triviale oplossing hebben.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 09 januari 2008 - 17:08

Dat klopt, maar ik weet niet of je dat mag gebruiken. Er werd immers expliciet gevraagd werd naar een argumentering via lineaire afhankelijkheid (van vectoren in R≥, algemeen R^n), misschien zijn (rijgereduceerde) echelonvormen of vrije parameters nog niet ingevoerd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

eXorikos

    eXorikos


  • >100 berichten
  • 134 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2008 - 18:19

Dat klopt, maar ik weet niet of je dat mag gebruiken. Er werd immers expliciet gevraagd werd naar een argumentering via lineaire afhankelijkheid (van vectoren in R≥, algemeen R^n), misschien zijn (rijgereduceerde) echelonvormen of vrije parameters nog niet ingevoerd.


De vraag komt uit een hoofdstuk dat over lineaire afhankelijkheid ging, vandaar die hint.





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures