Bewijs niet-triviale oplossing stelsel

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 134

Bewijs niet-triviale oplossing stelsel

In onze cursus staan bewijzen niet altijd uitgewerkt, maar als opgave. Nu luidt de opgave als volgt:

Bewijs dat het stelsel van drie homogene lineaire vergelijkingen

a1*x1 + b1*x2 + c1*x3 + d1*x4 = 0

a2*x1 + b2*x2 + c2*x3 + d2*x4 = 0

a3*x1 + b3*x2 + c3*x3 + d3*x4 = 0

in de onbekenden x1, x2, x3 en x4, waarbij ai, bi, ci en di vaste reële getallen zijn, een niet-triviale opssing heeft. Gebruik hierbij het argument over lineaire afhankelijkheid in de vectorruimte R³.

Ik kom zelf niet verder dan dat een van de vier vectoren (a, b, c of d) een lineaire combinatie is van de anderen.

Hoe moet her verder?

Later moeten we het nog veralgemenen, dus gelieve daar nog niet verder op in te gaan. :D

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bewijs niet-triviale oplossing stelsel

Als je een argument van lineaire afhankelijkheid moet gebruiken in R³, dan kan je het niet over vectoren (x1,x2,x3,x4) of (a,b,c,d) hebben, die zitten niet in R³. Voor (a,b,c,d) lijkt me dat trouwens weinig zin te hebben, dat zijn je vaste coëfficiënten.

Als je je stelsel in matrixvorm bekijkt, vormen de kolommen wel vectoren in R³; namelijk (a1,a2,a3), (b1,b2,b3), (c1,c2,c3) en (d1,d2,d3). Wellicht is het nu de bedoeling dat je het volgende gebruikt: in R³ kunnen maximaal 3 vectoren lineair onafhankelijk zijn, deze vier zijn dus zeker lineair afhankelijk.

Maar wat betekent dit? Wel: dat je de nulvector kan schrijven als een lineaire combinatie van deze kolommen, zonder dat alle coëfficiënten 0 moeten zijn. En dat levert precies een niet-triviale oplossing voor dit homogene stelsel, zie je?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 134

Re: Bewijs niet-triviale oplossing stelsel

TD schreef:Als je een argument van lineaire afhankelijkheid moet gebruiken in R³, dan kan je het niet over vectoren (x1,x2,x3,x4) of (a,b,c,d) hebben, die zitten niet in R³. Voor (a,b,c,d) lijkt me dat trouwens weinig zin te hebben, dat zijn je vaste coëfficiënten.

Als je je stelsel in matrixvorm bekijkt, vormen de kolommen wel vectoren in R³; namelijk (a1,a2,a3), (b1,b2,b3), (c1,c2,c3) en (d1,d2,d3). Wellicht is het nu de bedoeling dat je het volgende gebruikt: in R³ kunnen maximaal 3 vectoren lineair onafhankelijk zijn, deze vier zijn dus zeker lineair afhankelijk.

Maar wat betekent dit? Wel: dat je de nulvector kan schrijven als een lineaire combinatie van deze kolommen, zonder dat alle coëfficiënten 0 moeten zijn. En dat levert precies een niet-triviale oplossing voor dit homogene stelsel, zie je?
Dat waren de vectoren die ik bedoelde met a, b, c en d. Had geen zin het helemaal uit te typen. :D Het heeft inderdaad geen zin die afhankelijkheid te willen uitschrijven in termen van die vectoren.

Bedankt ! ^^

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bewijs niet-triviale oplossing stelsel

Oké, dan was het al logischer :D

Veralgemenen is nu niet moeilijk, als je een homogeen stelsel hebt met n vergelijkingen en n+1 onbekenden.

Dan heb je dus n+1 kolomvectoren in de ruimte R^n, dus lineair afhankelijk, dus er bestaan coëfficiënten...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 8.614

Re: Bewijs niet-triviale oplossing stelsel

TD schreef:Veralgemenen is nu niet moeilijk, als je een homogeen stelsel hebt met n vergelijkingen en n+1 onbekenden.

Dan heb je dus n+1 kolomvectoren in de ruimte R^n, dus lineair afhankelijk, dus er bestaan coëfficiënten...
Of anders gezegd:

Je hebt een homogeen stelsel met m vergelijkingen en n onbekenden en m < n. Je schrijft dat stelsel als een matrix A, waarvan matrix B de rijgereduceerde echelonvorm is. Dan heeft B een kolom zonder leidende 1, wat wilt zeggen dat we een parameter en dus een niet-triviale oplossing hebben.
Geloof niet alles wat je leest.


Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Bewijs niet-triviale oplossing stelsel

Dat klopt, maar ik weet niet of je dat mag gebruiken. Er werd immers expliciet gevraagd werd naar een argumentering via lineaire afhankelijkheid (van vectoren in R³, algemeen R^n), misschien zijn (rijgereduceerde) echelonvormen of vrije parameters nog niet ingevoerd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 134

Re: Bewijs niet-triviale oplossing stelsel

Dat klopt, maar ik weet niet of je dat mag gebruiken. Er werd immers expliciet gevraagd werd naar een argumentering via lineaire afhankelijkheid (van vectoren in R³, algemeen R^n), misschien zijn (rijgereduceerde) echelonvormen of vrije parameters nog niet ingevoerd.


De vraag komt uit een hoofdstuk dat over lineaire afhankelijkheid ging, vandaar die hint.

Reageer