Bewijs niet-triviale oplossing stelsel
-
- Berichten: 134
Bewijs niet-triviale oplossing stelsel
In onze cursus staan bewijzen niet altijd uitgewerkt, maar als opgave. Nu luidt de opgave als volgt:
Bewijs dat het stelsel van drie homogene lineaire vergelijkingen
a1*x1 + b1*x2 + c1*x3 + d1*x4 = 0
a2*x1 + b2*x2 + c2*x3 + d2*x4 = 0
a3*x1 + b3*x2 + c3*x3 + d3*x4 = 0
in de onbekenden x1, x2, x3 en x4, waarbij ai, bi, ci en di vaste reële getallen zijn, een niet-triviale opssing heeft. Gebruik hierbij het argument over lineaire afhankelijkheid in de vectorruimte R³.
Ik kom zelf niet verder dan dat een van de vier vectoren (a, b, c of d) een lineaire combinatie is van de anderen.
Hoe moet her verder?
Later moeten we het nog veralgemenen, dus gelieve daar nog niet verder op in te gaan.
Bewijs dat het stelsel van drie homogene lineaire vergelijkingen
a1*x1 + b1*x2 + c1*x3 + d1*x4 = 0
a2*x1 + b2*x2 + c2*x3 + d2*x4 = 0
a3*x1 + b3*x2 + c3*x3 + d3*x4 = 0
in de onbekenden x1, x2, x3 en x4, waarbij ai, bi, ci en di vaste reële getallen zijn, een niet-triviale opssing heeft. Gebruik hierbij het argument over lineaire afhankelijkheid in de vectorruimte R³.
Ik kom zelf niet verder dan dat een van de vier vectoren (a, b, c of d) een lineaire combinatie is van de anderen.
Hoe moet her verder?
Later moeten we het nog veralgemenen, dus gelieve daar nog niet verder op in te gaan.
- Berichten: 24.578
Re: Bewijs niet-triviale oplossing stelsel
Als je een argument van lineaire afhankelijkheid moet gebruiken in R³, dan kan je het niet over vectoren (x1,x2,x3,x4) of (a,b,c,d) hebben, die zitten niet in R³. Voor (a,b,c,d) lijkt me dat trouwens weinig zin te hebben, dat zijn je vaste coëfficiënten.
Als je je stelsel in matrixvorm bekijkt, vormen de kolommen wel vectoren in R³; namelijk (a1,a2,a3), (b1,b2,b3), (c1,c2,c3) en (d1,d2,d3). Wellicht is het nu de bedoeling dat je het volgende gebruikt: in R³ kunnen maximaal 3 vectoren lineair onafhankelijk zijn, deze vier zijn dus zeker lineair afhankelijk.
Maar wat betekent dit? Wel: dat je de nulvector kan schrijven als een lineaire combinatie van deze kolommen, zonder dat alle coëfficiënten 0 moeten zijn. En dat levert precies een niet-triviale oplossing voor dit homogene stelsel, zie je?
Als je je stelsel in matrixvorm bekijkt, vormen de kolommen wel vectoren in R³; namelijk (a1,a2,a3), (b1,b2,b3), (c1,c2,c3) en (d1,d2,d3). Wellicht is het nu de bedoeling dat je het volgende gebruikt: in R³ kunnen maximaal 3 vectoren lineair onafhankelijk zijn, deze vier zijn dus zeker lineair afhankelijk.
Maar wat betekent dit? Wel: dat je de nulvector kan schrijven als een lineaire combinatie van deze kolommen, zonder dat alle coëfficiënten 0 moeten zijn. En dat levert precies een niet-triviale oplossing voor dit homogene stelsel, zie je?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 134
Re: Bewijs niet-triviale oplossing stelsel
Dat waren de vectoren die ik bedoelde met a, b, c en d. Had geen zin het helemaal uit te typen. Het heeft inderdaad geen zin die afhankelijkheid te willen uitschrijven in termen van die vectoren.TD schreef:Als je een argument van lineaire afhankelijkheid moet gebruiken in R³, dan kan je het niet over vectoren (x1,x2,x3,x4) of (a,b,c,d) hebben, die zitten niet in R³. Voor (a,b,c,d) lijkt me dat trouwens weinig zin te hebben, dat zijn je vaste coëfficiënten.
Als je je stelsel in matrixvorm bekijkt, vormen de kolommen wel vectoren in R³; namelijk (a1,a2,a3), (b1,b2,b3), (c1,c2,c3) en (d1,d2,d3). Wellicht is het nu de bedoeling dat je het volgende gebruikt: in R³ kunnen maximaal 3 vectoren lineair onafhankelijk zijn, deze vier zijn dus zeker lineair afhankelijk.
Maar wat betekent dit? Wel: dat je de nulvector kan schrijven als een lineaire combinatie van deze kolommen, zonder dat alle coëfficiënten 0 moeten zijn. En dat levert precies een niet-triviale oplossing voor dit homogene stelsel, zie je?
Bedankt ! ^^
- Berichten: 24.578
Re: Bewijs niet-triviale oplossing stelsel
Oké, dan was het al logischer
Veralgemenen is nu niet moeilijk, als je een homogeen stelsel hebt met n vergelijkingen en n+1 onbekenden.
Dan heb je dus n+1 kolomvectoren in de ruimte R^n, dus lineair afhankelijk, dus er bestaan coëfficiënten...
Veralgemenen is nu niet moeilijk, als je een homogeen stelsel hebt met n vergelijkingen en n+1 onbekenden.
Dan heb je dus n+1 kolomvectoren in de ruimte R^n, dus lineair afhankelijk, dus er bestaan coëfficiënten...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 8.614
Re: Bewijs niet-triviale oplossing stelsel
Of anders gezegd:TD schreef:Veralgemenen is nu niet moeilijk, als je een homogeen stelsel hebt met n vergelijkingen en n+1 onbekenden.
Dan heb je dus n+1 kolomvectoren in de ruimte R^n, dus lineair afhankelijk, dus er bestaan coëfficiënten...
Je hebt een homogeen stelsel met m vergelijkingen en n onbekenden en m < n. Je schrijft dat stelsel als een matrix A, waarvan matrix B de rijgereduceerde echelonvorm is. Dan heeft B een kolom zonder leidende 1, wat wilt zeggen dat we een parameter en dus een niet-triviale oplossing hebben.
Geloof niet alles wat je leest.
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!
- Berichten: 24.578
Re: Bewijs niet-triviale oplossing stelsel
Dat klopt, maar ik weet niet of je dat mag gebruiken. Er werd immers expliciet gevraagd werd naar een argumentering via lineaire afhankelijkheid (van vectoren in R³, algemeen R^n), misschien zijn (rijgereduceerde) echelonvormen of vrije parameters nog niet ingevoerd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 134
Re: Bewijs niet-triviale oplossing stelsel
Dat klopt, maar ik weet niet of je dat mag gebruiken. Er werd immers expliciet gevraagd werd naar een argumentering via lineaire afhankelijkheid (van vectoren in R³, algemeen R^n), misschien zijn (rijgereduceerde) echelonvormen of vrije parameters nog niet ingevoerd.
De vraag komt uit een hoofdstuk dat over lineaire afhankelijkheid ging, vandaar die hint.