Springen naar inhoud

Functierijen en functiereeksen


  • Log in om te kunnen reageren

#1

boertje

    boertje


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 09 januari 2008 - 23:28

hallo,
ik heb moeilijkheden met de begrippen functierijen en functiereeksen.
als men over de cintinuiteit van een functierij praten praat men dan over de rij van de limieten van elke functie?
of over iets anders?
en is dit dan bij een functiereeks de partieelsommen van die limiete?
alle hulp is welkom,
stefan

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2008 - 11:12

Misschien kan je iets duidelijker toelichten wat je bedoelt. Je kan bijvoorbeeld een rij functies u(n) hebben waarbij elke u(n) continu is. Het is dan niet noozakelijk zo dat de limiet van deze rij functies, ook een continue functie is. Men maakt in deze context een onderscheid tussen puntsgewijze convergentie en uniforme convergentie, heb je dat gezien?

Voor functiereeksen kijk je inderdaad naar de partieelsommen omdat, zoals je wellicht weet, convergentie van reeksen gedefinieerd is aan de hand van convergentie van de overeenstemmende rij van partieelsommen. Ook hier is er een onderscheid tussen puntsgewijze en uniforme convergentie van de reeks van functies.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

boertje

    boertje


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2008 - 11:30

ja dat heb ik inderdaad gezien, en ik snap het verschil ook tussen die soortn convergenties.
Ik heb het alleen moeilijk met het me concreet voorstellen van functierij.
moet ik mij dan getallen inbeelden of gewoon een rij van functies?

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2008 - 13:54

Je hebt verschillende 'types' van rijen, maar in het algemeen is een rij altijd een afbeelding die met een natuurlijk getal, een 'wiskundig object' laat overeenkomen. Als we de rij noteren met u, dan is het object op de n-de plaats u(n). In het eenvoudigste geval zijn de 'objecten' gewone getallen, bijvoorbeeld reŽle getallen. We spreken dan van een numerieke rij.

Bijvoorbeeld, bekijk de volgende numerieke rij: u(n) = n≤, deze rij gaat als volgt: 1, 4, 9, 16, 25, ...
Met elk natuurlijk getal n, komt dus het element u(n) = n≤ overeen uit deze rij, zoals u(8) = 8≤ = 64.

In plaats van getallen, kunnen we als 'object' ook functies nemen. In dat geval stemt met elk natuurlijk getal n, een functie overeen die in het algemeen zal afhangen van n (n kan je dan zien als een parameter). Om het onderscheid te maken zal ik zo'n functierij noteren met f(n).

Bekijk bijvoorbeeld de rij functies f(n) = nx. Voor elk natuurlijk getal n, vinden we een rechte door de oorsprong met richtingscoŽfficiŽnt n. De rij door opsomming: x, 2x, 3x, 4x,... Nu komt met elke positie geen getal overeen, maar een functie. Als we een vaste waarde van x bekijken, dan zijn de elementen allemaal functiewaarden en heb je weer een numerieke rij.

Beschouwd als een rij van functies, kan je je afvragen wat de limiet van de rij is. In dit geval is het duidelijk dat de rij niet convergeert naar een functie (het gaat naar " :D . x "). Grafisch kan je inzien dat de functies "convergeren" naar de y-as, maar dat is geen functie natuurlijk.

Om een voorbeeld van een convergente rij functies te geven, bekijk f(n) = x/n. Dit zijn weer rechten door de oorsprong met een verandere richtingscoŽfficiŽnt, maar nu: x, x/2, x/3, x/4, ... Deze rij convergeert wel, namelijk naar de functie f(x) = 0. Ook dit is grafisch goed in te zien, de rechten convergeren naar de x-as.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

boertje

    boertje


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2008 - 14:47

mjah, kdenk dak het wel door heb!
bedankt allesinds!

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2008 - 14:56

Graag gedaan. Als je nog vragen hebt hierover, reageer je maar.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

boertje

    boertje


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2008 - 15:00

hierover niets meer neen, maar als je een idee hebt voor mn andere vraag...





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures