Springen naar inhoud

Integraaltje


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2008 - 01:24

Waarom is de volgende functie nooit integreerbaar:

xα-1+xα-1/1+x

en hoe zie je dit dan?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2008 - 11:06

Ontbreken hier wat haakjes?
Als het ťťn breuk is, staat er in de teller twee keer dezelfde term, is dat de bedoeling?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2008 - 13:35

Oei, dat moet xα-1+x/1+x zijn

Veranderd door Scofield, 10 januari 2008 - 13:37


#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2008 - 13:42

En nu gebruik je weer geen haakjes...

Let op: a+b/c+d is eigenlijk a + (b/c) + d en niet (a+c)/(b+d). Je bedoelt waarschijnlijk:

LaTeX

Dat is een continue functie, dus integreerbaar.
Zoek je misschien een primitieve functie?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2008 - 13:45

Het is die functie die ik bedoel.

Ik moet onderzoeken waar de integraal convergeert, aangezien hij niet riemannintegreerbaar is,maar ik snap niet waarom hij niet riemannintegreerbaar is.

Veranderd door Scofield, 10 januari 2008 - 13:45


#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2008 - 13:59

Niet Riemannintegreerbaar op welk interval?

De functie bestaat niet in x = 0, maar op zijn domein is de functie overal continu.
Op elk gesloten interval van het domein, is de functie bijgevolg integreerbaar...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2008 - 14:06

wel dom van mij dat ik het interval er niet bij heb gegeven:

Je integreert over 0 en 1

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2008 - 14:15

Dan hangt de convergentie af van de waarde van a...
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2008 - 14:16

ja... en waarom is dat dan niet-riemannintegreerbaar?

#10

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2008 - 14:24

Voor alle duidelijkheid: de "gewone" Riemannintegraal is gedefinieerd op een gesloten interval [a,b] waar de functie dus moet bestaan. De functie die je geeft is op elk gesloten interval van het domein van de functie, continu en dus Riemann-integreerbaar.

Als je hier wil integreren vanaf 0, is het interval daar open; de functie bestaat immers niet in x = 0 (door de term x^(-a)). Het is dus sowieso een oneigenlijke integraal: deze kan convergeren (dan noemen we de functie nog steeds integreerbaar) of divergeren.

Wat ik bedoelde: de convergentie is afhankelijk van a. Voor a = 0 of a = 1 vereenvoudigt de functie zich tot f(x) = 1/x, daarvan kan je gemakkelijk nagaan dat de (oneigenlijke) integraal op (0,1) niet convergeert. Maar voor a = 1/2 convergeert de integraal bijvoorbeeld wel, namelijk naar pi.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#11

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2008 - 14:44

Ja, ik snap wat je doet, maar ik weet zelf niet goed hoe je aan zo'n oefening moet beginnen.

Zou je misschien een algemene werkwijze kunnen geven van hoe je zo'n oefening oplost?

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2008 - 14:58

Wat is de precieze opgave hier?

Je vroeg je af waarom de functie niet Riemann-integreerbaar is, maar zoals ik liet zien klopt dat niet helemaal. Het hangt af van de waarde van a, of de integraal convergeert of niet... Dus hoe is de vraag precies gesteld?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2008 - 15:24

Mijn eerste vraag was waarom de functie niet gewoon riemannintegreerbaar was. Dit was zo aangezien de functie in x=0 niet gedefiniŽerd was en gewone riemannintegreerbaarheid over een begrensd interval gaat. Toen zaten we met een oneigenlijke integraal waarvan we de convergentie moesten onderzoeken. Nu is mijn vraag :

Hoe begin je aan het convergentie-onderzoek van een oneigenlijke integraal?

Zou je hiervoor een beetje een algemene werkwijze kunnen geven?

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2008 - 15:30

Mijn eerste vraag was waarom de functie niet gewoon riemannintegreerbaar was. Dit was zo aangezien de functie in x=0 niet gedefiniŽerd was en gewone riemannintegreerbaarheid over een begrensd interval gaat.

De 'gewone Riemannintegreerbaarheid' was wel voldaan, omdat de functie continu is op elk gesloten interval van het domein. Als je integreert over het (half)open interval (0,a] of (0,a), dan moet je de convergentie van de oneigenlijke integraal nagaan.

Toen zaten we met een oneigenlijke integraal waarvan we de convergentie moesten onderzoeken. Nu is mijn vraag :
Hoe begin je aan het convergentie-onderzoek van een oneigenlijke integraal?
Zou je hiervoor een beetje een algemene werkwijze kunnen geven?

Er is geen algemene methode hiervoor. Soms kan je de primitieve bepalen en het zo algemeen nagaan, hier gaat dat niet. Voor specifieke waarde van a kan dat wel, maar dan weet je nog niets over de convergentie voor willekeurige waarden van a. Misschien heb je methodes gezien?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

Scofield

    Scofield


  • >250 berichten
  • 355 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2008 - 15:45

Ik krijg meestal vragen zoals de vorige functie waar er gespeeld wordt met die a.

Maar nu heb je me wel een beetje in de war gebracht ivm die riemannintegreerbaarheid. Op het moment zie ik het zo:

begrensd interval: riemannintegreerbaar

onbegrensd interval: oneigenlijke integraal --> convergentie onderzoeken

Verbeter waar nodig zou ik zeggen...





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures