Springen naar inhoud

Differentiaalvergelijking, e-macht of sinus?


  • Log in om te kunnen reageren

#1

Thriller

    Thriller


  • 0 - 25 berichten
  • 10 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2008 - 19:05

Hoi,

Ik heb de volgende differentiaalvergelijking:

u''+w^2*u=0

Iedere keer als ik differentiaalvergelijkingen tegenkom raak ik in de war. Soms wordt er een e-macht gebruikt om het op te lossen, en soms een (co)sinuscombinatie. Wat is nou precies het verschil en wanneer kun je welke het beste gebruiken?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2008 - 19:08

Voor de duidelijkheid: we hebben het hier over lineaire differentiaalvergelijkingen van willekeurige orde, maar met constante coŽfficiŽnten. Van de homogene vergelijking kan je dan een karakteristieke vergelijking opstellen, daarvan zoek je de wortels (nulpunten). Je kunt altijd e-machten gebruiken, als z (eventueel complex) een wortel is van de karakteristieke vergelijking, dan is:

LaTeX

een oplossing van de differentiaalvergelijking (indien die gegeven is als y in functie van x). Als z reŽel is, laten we de oplossing meestal zo staan. Als z echter complex is en we willen de oplossing in reŽle vorm, dan kunnen we sinus en cosinus gebruiken.

Voor lineaire differentiaalvergelijking met constante (reŽle) coŽfficiŽnten zullen complexe wortels steeds in complex toegevoegde paren komen. Als z = a+bi een wortel is, dan is z* = a-bi er ook een. In complexe notatie heb je dan oplossingen van de volgende vorm:

LaTeX

We kunnen e^a steeds afzonderen, dit is volledig reŽel. Wat kunnen we doen met e^(ib) en e^(-ib)? Er geldt:

LaTeX

Dus we kunnen het al herschrijven naar cos(b)+i.sin(b) en cos(b)-i.sin(b), dit zijn nog steeds oplossingen. Aangezien de vergelijking lineair is, zijn lineaire combinaties hiervan ook nog steeds oplossingen. Bijgevolg zijn cos(b) en sin(b) ook oplossingen, dus we kunnen als oplossing schrijven:

LaTeX

Dit is de algemene oplossing in reŽle vorm in het geval van complexe wortels z = a+bi en z = a-bi.

Je ziet nu duidelijk de bijzondere gevallen:
- de wortel is reŽel, dus er is enkel a (b = 0), dan heb je alleen die exponentiŽle als oplossing,
- de wortel is zuiver imaginair, er is enkel b (a = 0), je hebt dan een lineaire combinatie van sinus en cosinus.

Samengevat om op je vraag terug te komen: je kan altijd de exponentiŽle functie gebruiken voor de oplossingen, maar bij (al dan niet zuiver) imaginaire wortels, kunnen we de oplossing nog steeds in reŽle vorm noteren door sinus en cosinus te gebruiken voor het imaginaire deel van de wortel(s).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures