Springen naar inhoud

Nuldeler


  • Log in om te kunnen reageren

#1

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 10 januari 2008 - 23:02

Zij A een vierkante matrix in Rn◊n. We noemen A een nuldeler als er een vierkante
matrix B element Rn◊n bestaat zodanig dat AB = 0, maar B is niet 0.
Toon aan dat voor een vierkante matrix A geldt: A is inverteerbaar als en slechts
als A is geen nuldeler.

Hoe bewijs je "<==" ?

Ik wou werken met det(AB)=det(A)det(B)=0
Als det(A)=0 dan is A niet inverteerbaar.

Wat dan ?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 10 januari 2008 - 23:31

De richting "=>" heb je al? Lijkt me ook eenvoudig. Als A inverteerbaar, dan bestaat de inverse. Veronderstel dat A toch een nuldeler is en neem dan een niet-nulle B waarvoor AB = 0. Door links en rechts met de inverse van A te vermenigvuldigen, vinden we B = 0, contradictie.

Voor de andere richting kan ik wel iets bedenken, maar dan werk ik met de negatie. Ik toon (hopelijk) aan: (A is niet inverteerbaar) => (A is nuldeler). Als A niet inverteerbaar is, dan zijn de kolommen van A lineair afhankelijk. Er bestaan dan niet-nulle scalairen (a,b,...) zodat een lineaire combinatie van de kolommen de nulvector levert. Met deze scalairen kan je de niet-nulle matrix B vormen die je moet hebben om aan te tonen dat A een nuldeler is. Lijkt je dat wat?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 januari 2008 - 00:38

Wat bedoel je eigenlijk met die scalairen ?
Kolommen van een matrix ?

Ik wou ook zo gaan zoeken, maar dacht dat er een recht aan recht toe oplossing was : )

#4

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 januari 2008 - 09:00

Wat bedoel je eigenlijk met die scalairen ?

Scalairen zijn getallen waarmee je een vector vermenigvuldigt. Mocht je bekend zijn met het begrip lineaire combinatie:

LaTeX

Hier zijn LaTeX , LaTeX ,... vectoren en LaTeX , LaTeX ,... scalairen.

Kolommen van een matrix ?

Ik hoop dat je wel weet wat kolommen van een matrix zijn. Anders heeft het namelijk weinig zin om over matrices te spreken. Stel je hebt de volgende matrix A:

matrixkolommen.png

De rood omcirkelde groepen elementen zijn kolommen.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#5

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 januari 2008 - 12:19

Ok, ik vroeg het voor de zekerheid, dat kan ook eh : )

#6

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 januari 2008 - 15:59

Uiteraard mag je zoveel vragen als je wilt. Lukt het nu?

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#7

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 januari 2008 - 19:39

De richting "=>" heb je al? Lijkt me ook eenvoudig. Als A inverteerbaar, dan bestaat de inverse. Veronderstel dat A toch een nuldeler is en neem dan een niet-nulle B waarvoor AB = 0. Door links en rechts met de inverse van A te vermenigvuldigen, vinden we B = 0, contradictie.

Voor de andere richting kan ik wel iets bedenken, maar dan werk ik met de negatie. Ik toon (hopelijk) aan: (A is niet inverteerbaar) => (A is nuldeler). Als A niet inverteerbaar is, dan zijn de kolommen van A lineair afhankelijk. Er bestaan dan niet-nulle scalairen (a,b,...) zodat een lineaire combinatie van de kolommen de nulvector levert. Met deze scalairen kan je de niet-nulle matrix B vormen die je moet hebben om aan te tonen dat A een nuldeler is. Lijkt je dat wat?



Geniale oplossing B is dan de matrix van n kolommen (a_1 a_2 ... a_n)^T (als we het hebben over nxn matrices natuurlijk). En als je dan AB doet krijg ge idd de nulmatrix. (Ik werk met lineair afhankelijke rijen van A, en die a's zijn de scalairen)
"<==" is dan bewezen via contrapositie : )

Weet iemand een andere oplossing ?

Veranderd door jan_alleman, 11 januari 2008 - 19:41


#8

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 11 januari 2008 - 23:40

Ik kan het vorige niet wijzigen, bij deze.

Maar er moet staan dat "ik werk met lineair afhankelijke kolommen".

#9

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 januari 2008 - 10:55

Hmm, ik ken die vraag ergens van. Die stond vorig jaar op mijn examen lineaire algebra, toevallig student aan de KUL?

#10

Klintersaas

    Klintersaas


  • >5k berichten
  • 8614 berichten
  • VIP

Geplaatst op 12 januari 2008 - 11:04

(als we het hebben over nxn matrices natuurlijk)

Dat is nogal vanzelfsprekend, omdat het geen zin heeft om het over nuldelers te hebben wanneer je niet binnen de vierkante matrices blijft.

Geloof niet alles wat je leest.

Heb jij verstand van PHP? Word Technicus en help mee om Wetenschapsforum nog beter te maken!


#11

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 12 januari 2008 - 16:57

Hmm, ik ken die vraag ergens van. Die stond vorig jaar op mijn examen lineaire algebra, toevallig student aan de KUL?


Jup : )

#12

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 januari 2008 - 20:32

Weet iemand een andere oplossing ?

Het is weer een tijdje geleden, maar ik was even druk bezig...
Is de oplossing niet helemaal duidelijk, of wat zoek je nog?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#13

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2008 - 20:36

Die is zeker duidelijk : )
Ik was gewoon benieuwd ... (een goede additude, niet ? : p)
Ik heb al een paar gevonden, maar het komt altijd op hetzelfde neer.

#14

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 januari 2008 - 20:43

Goede attitude ja ;) Ik zie ook niet direct een volledig andere aanpak.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#15

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2008 - 20:49

Na een examen van 4.5 uur zijn zo'n soorten fouten geoorloofd ;)

Veranderd door jan_alleman, 14 januari 2008 - 20:50






0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures