Voortbrengende verzameling

Ruben01

Ik zit vast bij de volgende vraag:

Aan welke voorwaarde(n) moeten a,b,c

opdat (a,b,c)

span{(2,1,0),(1,-1,2),(0,3,-4)}

Ik ben als volgt gestart:

span{r.(2,1,0),s.(1,-1,2),t.(0,3,-4) |r,s,t

}

={(2r+s , r-s+3t , 2s-4t) |r,s,t

}

hoe moet ik nu verder werken ?

jan_alleman

(a,b,c)= x*u + y*v + z*w

u,v en w zijn uw 'spanvectoren'

Nu lost ge het stelsel op, dus de onbekenden zijn x, y en z. Ge stopt ze in een matrix vb eerste rij is :

x+y=a

Ruben01

jan_alleman schreef:(a,b,c)= x*u + y*v + z*w

u,v en w zijn uw 'spanvectoren'

Nu lost ge het stelsel op, dus de onbekenden zijn x, y en z.

Die theorie heb ik ook gezien

.

jan_alleman schreef:Ge stopt ze in een matrix vb eerste rij is :

x+y=a

Ik zou dan eerder zeggen in mijn oefening: 2r+s=a of met jouw notatie: 2x+y=a.

Iemand die duidelijkheid kan brengen ?

jan_alleman

Ruben01

Ruben01 schreef:Ik zou dan eerder zeggen in mijn oefening: 2r+s=a of met jouw notatie: 2x+y=a.

Iemand die duidelijkheid kan brengen ?

Als ik dat voor b en c doe dan krijg ik drie vergelijkingen maar wanneer ik dan bij de oplossingen ga kijken dan staat er opeens het volgende:

0=3c+4b-2a

Hoe komt men daar juist aan ?

jan_alleman

gwn oplossen, daarna krijg ge vgl in x, y en z, daaruit kunt ge die voorwaarde halen, gwn doen.

Ruben01

gwn oplossen, daarna krijg ge vgl in x, y en z, daaruit kunt ge die voorwaarde halen, gwn doen.

1. Ik zie geen x,y,z maar ik denk dat ik er ondertussen zelf al ben achtergekomen hoe ik het kan oplossen.

2. "gwn oplossen en gwn doen" als alles zo makkelijk was dan zouden op wetenschapsforum niet meer dan 300 000 posts staan waarin mensen vragen stellen en antwoorden krijgen.

3. We hebben hier de gewoonte om msn en andere talen te vermijden dus liever gewoon i.p.v. gwn.

jan_alleman

antwoord op 3:

Tjah

Rov

Ruben01 schreef:Ik zit vast bij de volgende vraag:

Aan welke voorwaarde(n) moeten a,b,c opdat (a,b,c) span{(2,1,0),(1,-1,2),(0,3,-4)}

Ik ben als volgt gestart:

span{r.(2,1,0),s.(1,-1,2),t.(0,3,-4) |r,s,t }

={(2r+s , r-s+3t , 2s-4t) |r,s,t }

hoe moet ik nu verder werken ?

Controleer eerst even of de 3 vectoren die die ruimte opspannen niet lineair afhankelijk zijn want dan kan het zijn dat er een vector weg valt. Kan je dus een van die drie vectoren uitschrijven in een combinatie van de andere 2?

Aan welke voorwaarde moet (a,b,c) voldoen zodat het in die ruimte zit? Als die drie vectoren lineair onafhankelijk zijn vormt het een basis voor de opgespannen ruimte. (a,b,c) moet dus uit te drukken zijn in een lineaire combinatie van die 3 vectoren. Schrijf dat uit en los dat op:

\( \left( \begin{array}{c} a \\ b \\ c \end{array} \right) = \lambda_1 \left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right) +\lambda_2 \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right) +\lambda_3 \left( \begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ -4 \end{array} \right)\)

met

\(\lambda_i \in \rr\)

Als een vector dus in die deelruimte wil zitten moet het te schrijven zijn als een lineaire combinatie van de vectoren die die ruimte opspannen met niet alle

\(\lambda\)

s gelijk aan nul.

\(\mathbf{v} = \sum^r_{i=1} \lambda_i \mathbf{e}_i \)

Spoiler: [+]: Volgens mij is de 2 vector te schrijven als een lineaire combinatie van de 1e en de 3e, dat maakt het rekenwerk al een pak makkelijk. Mijn uitkomst is:

a = x - (y/2)

b = y - 2z

c =

Ruben01

@Rov, bedankt voor de duidelijk uitleg.

Hoe moet je nu van de uitkomsten die je krijgt naar de oplossing gaan die in mijn cursus staat:

0=3c+4b-2a

Ik snap niet hoe je van het bovenstaande hieraan geraakt.

Rov

Mijn excuses voor de laatste post, die is namelijk niet (helemaal) juist. We zoeken het trouwens ook veel te ver.

Noem de ruimte die wordt opgespannen V, V wordt opgspannen door 4 vectoren. Dus

\(V = \left< \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 \right> = \left< (2,1,0),(1,-1,2),(0,3,-4) \right>\)

.

Het is niet zo moeilijk om in te zien dat:

\(\mathbf{e}_2 = \frac{1}{2} \mathbf{e}_1 + \frac{1}{2} \mathbf{e}_3\)

(als je het niet onmiddellijk ziet dan kan je ze in een matrix steken en na gauss eliminatie onstaat er een nulrij). Je kan dus ook zeggen dat de ruimte V wordt opgespannen door

\(V = \left< \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_3 \right> \)

.

V is een deelruimte van

\(\rr^3\)

en iedere deelruimte van een vectorruimte bevat ook de nulvector (dat volgt uit de definitie van deelruimte en vectorruimte): (0,0,0).

Je hebt nu dus 3 vectoren waarvan je zeker bent dat ze in de deelruimte zitten. 3 vectoren van dimensie 3 spannen een vlak op. Zoek dus gewoon de vergelijking van het vlak dat de vectoren (2,1,0) , (0,3,-4) en (0,0,0) omvat. Die oplossing is uniek. Dit is inderdaad het vlak 2x-4y-3z = 0 zoals in je oplossingen staat.

Ruben01

Bedankt Rov, ik denk dat ik het snap hoe ik aan dat vlak moeten komen

.

Rov

Er zijn meerdere manieren om de vergelijking van een vlak te vinden als 3 vectoren gegeven zijn (carthesiaans, met parametervergelijking, via de normaalvector, ...).

Enkele typfoutjes:

"V wordt opgspannen door 4 vectoren." moet natuurlijk zijn "V wordt opgspannen door 3 vectoren.

en

\(\mathbf{e}_2 = \frac{1}{2} \mathbf{e}_1 + \frac{1}{2} \mathbf{e}_3\)

moet zijn

\(\mathbf{e}_2 = \frac{1}{2} \mathbf{e}_1 - \frac{1}{2} \mathbf{e}_3\)

Ruben01

Rov schreef:Er zijn meerdere manieren om de vergelijking van een vlak te vinden als 3 vectoren gegeven zijn (carthesiaans, met parametervergelijking, via de normaalvector, ...).

Ik heb het met de determinant gedaan en het kwam uit.

Enkele typfoutjes:

"V wordt opgspannen door 4 vectoren." moet natuurlijk zijn "V wordt opgspannen door 3 vectoren.

en

\(\mathbf{e}_2 = \frac{1}{2} \mathbf{e}_1 + \frac{1}{2} \mathbf{e}_3\)
moet zijn
\(\mathbf{e}_2 = \frac{1}{2} \mathbf{e}_1 - \frac{1}{2} \mathbf{e}_3\)
Dit had ik ook gezien toen ik het even uitwerkte met de gauss eliminatie

Bedankt voor de hulp Rov !!

TD

Nog even als aanvulling hierop, maar dan zonder vergelijkingen van vlakken enz.

Als de drie gegeven vectoren lineair onafhankelijk zijn, dan spannen ze

³ op.

Er zijn dan geen voorwaarden op a, b en c omdat elke (a,b,c) dan gevormd kan worden.

Zoals reeds gezegd zijn ze wel lineair afhankelijk, ik bvb de eerste twee (zijn onafhankelijk).

Er geldt dus: span({(2,1,0),(1,-1,2),(0,3,-4)}) = span({(2,1,0),(1,-1,2)}).

Tot hier niks nieuws. Nu een methode om de voorwaarde te vinden:

Er geldt span({(2,1,0),(1,-1,2)}) = p(2,1,0)+q(1,-1,2) = (2p+q,p-q,2q).

Dan moet (a,b,c) = (2p+q,p-q,2q), dus 2q = c waaruit q = c/2.

Uit de tweede component volgt dan b = p-c/2 waaruit p = b+c/2.

Eerste component: a = 2p+q dus a = 2b+c+c/2, dus 2a-4b-3c = 0.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Voortbrengende verzameling

Voortbrengende verzameling

Re: Voortbrengende verzameling

Re: Voortbrengende verzameling

Re: Voortbrengende verzameling

Re: Voortbrengende verzameling

Re: Voortbrengende verzameling

Re: Voortbrengende verzameling

Re: Voortbrengende verzameling

Re: Voortbrengende verzameling

Re: Voortbrengende verzameling

Re: Voortbrengende verzameling

Re: Voortbrengende verzameling

Re: Voortbrengende verzameling

Re: Voortbrengende verzameling

Re: Voortbrengende verzameling