Dimensie en basis bepalen

Ruben01

Ik heb een probleem bij het vinden van een oplossing voor de volgende vraag:

Beschouw

$U=\{( x,y,z,u) | y+z+u=0\} $

U is de oplossingesruimte van het stelsel dat deelruimte is van

$$\mathbb{R}$ ^4$

.

Bepaal de dimensie en de basis van U.

Ik weet totaal niet hoe te beginnen aan zo'n oefening.

jan_alleman

Ge moet beginnen met een substitutie vb: y=-z-u, en dan y vervangen daardoor en dan schrijf ge dat als een som van vectoren met de parameters erbuiten, dan ziet ge waardoor U opgespannen wordt ...

Ruben01

Ik heb dat even geprobeerd:

$U=\{( x,-z-u,z,u) | y+z+u=0\} $

Nu krijg ik dus:

$x \cdot (1,0,0,0) + z \cdot (0,-1,1,0) + u \cdot (0,-1,0,1) $

Bedoel je dan dat dit mijn nieuwe basis is ? Deze zou dan een dimensie hebben van 3.

jan_alleman

ja als die lineair onafhankelijk zijn.

Bekijk de theorie over deelruimten.

Ruben01

Is er iemand anders die er misschien iets meer over kan zeggen ?

Volgens jan_alleman zou dit correct:

Ruben01 schreef:Nu krijg ik dus:
$x \cdot (1,0,0,0) + z \cdot (0,-1,1,0) + u \cdot (0,-1,0,1) $
Bedoel je dan dat dit mijn nieuwe basis is ? Deze zou dan een dimensie hebben van 3.

In mijn oplossingen staat er iets anders, waarschijnlijk hebben ze daar iets anders vervangen.

jan_alleman

Post eens de 'oplossingen'.

Ruben01

Post eens de 'oplossingen'.

In mijn oplossing staat er als voorbeeld basis:

{(1,0,0,0),(0,1,0,-1),(0,0,1,-1)}

jan_alleman

In dat geval is het duidelijk dat ofwel wij ofwel zij een telfout gemaakt hebben.

TD

Je schrijft "bepaal de basis", maar er zijn er oneindig veel! Dus, bepaal een basis

Ruben01 schreef:Ik heb dat even geprobeerd:

$U=\{( x,-z-u,z,u) | y+z+u=0\} $
Nu krijg ik dus:
$x \cdot (1,0,0,0) + z \cdot (0,-1,1,0) + u \cdot (0,-1,0,1) $
Bedoel je dan dat dit mijn nieuwe basis is ? Deze zou dan een dimensie hebben van 3.

Dit is goed, dus {(1,0,0,0),(0,-1,1,0),(0,-1,0,1)} is een basis.

Ruben01 schreef:In mijn oplossing staat er als voorbeeld basis:

{(1,0,0,0),(0,1,0,-1),(0,0,1,-1)}

En dat klopt ook, want u = -z-y, dus: (x,y,z,-z-y) = x(1,0,0,0)+y(0,1,0,-1)+z(0,0,1,-1).

Hieruit volgt dat ook {(1,0,0,0),(0,1,0,-1),(0,0,1,-1)} een basis is.

De twee gevonden basissen hebben de eerste basisvector gemeenschappelijk.

De laatste twee zouden dus dezelfde vectoren moeten voortbrengen, eens zien:

a(0,-1,1,0) + b(0,-1,0,1) = (0,-a-b,a,b)

c(0,1,0,-1) + d(0,0,1,-1) = (0,c,d,-c-d)

Zijn de voortgebrachte vectoren gelijk? Uit de derde component volgt direct a = d.

Dan moet volgens de tweede component c = -b-d en dat klopt met component vier.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Dimensie en basis bepalen

Dimensie en basis bepalen

Re: Dimensie en basis bepalen

Re: Dimensie en basis bepalen

Re: Dimensie en basis bepalen

Re: Dimensie en basis bepalen

Re: Dimensie en basis bepalen

Re: Dimensie en basis bepalen

Re: Dimensie en basis bepalen

Re: Dimensie en basis bepalen