Hoe bewijst men zoiets ?
Zij V en W vectorruimten. We definieren het product van V en W als de verzameling VxW={ (v,w)| v in V en w in W } .
Met de optelling gefinieerd door (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d) en de scalaire vermenigvuldiging ged door k(a,b)= (ka,kb).
Toon aan dat Dim(VxW)=Dim V + Dim W.
Ik heb geen idee hoe ik zoiets 'tegoei' opschrijf :s :s
iemand ?
Laatste berichten
-
08:29
Programmeren met vectoren 5
-
23:12
speciale rel. theorie 10
-
22:57
Straatklok loopt 5 minuten voor 11
-
22:57
wig 6
-
22:36
Gravity and gravitation 4
-
22:24
[scheikunde] vraag Chemie - wat is de oplossing? 10
-
19:47
Bruine vlekken op treinaanwijzerbord 10
-
19:44
Vogels in de stad zijn goede klussers 2
-
19:12
Rood laserlicht 3
-
17:30
Herleiden afmetingen vanaf een foto 21
-
16:34
[wiskunde] Prijs Product per KG; Alternatief Inzicht 3
-
13:57
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 9
-
13:16
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 17
-
13:12
[natuurkunde] kroon van koning op Syracuse 10
-
25 apr
2013 – Augustus Vraag 3 3
-
24 apr
Vraag 2009 Juli Vraag 5 5
-
24 apr
positie 2
-
24 apr
Schroefdraad berekening 8
-
24 apr
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
23 apr
Weerfrustratie 9
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
Dim(vxw)
-
- Berichten: 2.906
Re: Dim(vxw)
Stap 1): zoek eerst de definitie van 'dimensie' op.
while(true){ Thread.sleep(60*1000/180); bang_bassdrum(); }
-
- Berichten: 2.242
Re: Dim(vxw)
Is dat niet een beetje triviaal en volgt het niet gewoon uit de definities van basis, dimensie, ...
Stel V heeft als basis
Stel W heeft als basis
Elke vector in V is te schrijven als
Men heeft dus n + r basis vectoren nodig om een vector in die ruimte te beschrijven. Dus Dim(V x W) = n + r
Dim(V x W) = Dim V + Dim W = n + r
Stel V heeft als basis
\(\mathcal{E} = \left( \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \cdots , \mathbf{e}_n \right)\)
. V heeft dus dimensie n.Stel W heeft als basis
\(\mathcal{F} = \left( \mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, \cdots ,\mathbf{f}_r \right)\)
. W heeft dus dimensie r.Elke vector in V is te schrijven als
\(\mathbf{v} = \sum^n_{i=1} \lambda_i \mathbf{e}_i\)
Elke vector in W is te schrijven als \(\mathbf{w} = \sum^r_{i=1} \mu_i \mathbf{f}_i\)
Een vector in de nieuwe ruimte V x W is dan te schrijven als \(\left( \mathbf{v} , \mathbf{w} \right) = \left( \sum^n_{i=1} \lambda_i \mathbf{e}_i , \sum^r_{i=1} \mu_i \mathbf{f}_i \right) \)
.Men heeft dus n + r basis vectoren nodig om een vector in die ruimte te beschrijven. Dus Dim(V x W) = n + r
Dim(V x W) = Dim V + Dim W = n + r
-
- Berichten: 394
Re: Dim(vxw)
Jah natuurlijk, ge hebt nog 'niks' bewezen, denk ik.
Geef me die basis dan, de notatie is hier het probleem, snapt u : )
Ik zou zeggen stap 1) lees eerst mijn vraag tegoei
Geef me die basis dan, de notatie is hier het probleem, snapt u : )
Dat is het probleem niet ....Stap 1): zoek eerst de definitie van 'dimensie' op.
Ik zou zeggen stap 1) lees eerst mijn vraag tegoei
-
- Berichten: 2.242
Re: Dim(vxw)
De basis wordt hier niet gevraagd, er wordt gevraagd om te bewijzen dat Dim(V x W) = Dim V + Dim W = n + r en dat volgt gewoon uit de definities.
Als je toch zo graag een basis wil:
Als je toch zo graag een basis wil:
\(\left( \left( \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \cdots , \mathbf{e}_n \right), \left( \mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, \cdots ,\mathbf{f}_r \right) \right)\)
. Zoals je ziet bestaat die uit n + r vectoren.-
- Berichten: 394
Re: Dim(vxw)
Dat is al een fundamentele fout ...
Ge zegt nu dat de dimensie 2 is.
Ge zegt uit de definities ...
De definitie is 'het aantal elementen van de basis noemt men de dimensie ...". Dus als ge geen basis kunt definieren, staat ge nergens, niet ?
Ge zegt nu dat de dimensie 2 is.
Ge zegt uit de definities ...
De definitie is 'het aantal elementen van de basis noemt men de dimensie ...". Dus als ge geen basis kunt definieren, staat ge nergens, niet ?
-
- Berichten: 2.242
Re: Dim(vxw)
Ik zeg nergens dat de dimensie 2 is, jij verwart gewoon mijn notatie van die van een punt in het vlak, (x,y) 
².
Neem voor V eens
² en voor W neem je 
³.
De dimensie van V is 2 en die van W is 3.
V x W = {(v,w) | v V, w W}. Een basis voor V x W zou dan kunnen zijn ((1,0), (0,1) ; (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)). Dit is een combinatie van de standaardbasis van respectievelijk ² en ³. Ik heb een basis gedefinieerd die ontegenspreekbaar uit 5 vectoren bestaat en 2 + 3 = 5.
². Neem voor V eens
² en voor W neem je ³.De dimensie van V is 2 en die van W is 3.
V x W = {(v,w) | v
V, w W}. Een basis voor V x W zou dan kunnen zijn ((1,0), (0,1) ; (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)). Dit is een combinatie van de standaardbasis van respectievelijk ² en ³. Ik heb een basis gedefinieerd die ontegenspreekbaar uit 5 vectoren bestaat en 2 + 3 = 5.-
- Berichten: 394
Re: Dim(vxw)
Die puntkomma stoort mij nog eerijk gezegd.
Ik zou zeggen misschien iemand die meer over lineaire algebra, dat die zijn mening effe meedeelt ?
Maar toch bedankt Rov.
Ik zou zeggen misschien iemand die meer over lineaire algebra, dat die zijn mening effe meedeelt ?
Maar toch bedankt Rov.
-
- Berichten: 2.242
Re: Dim(vxw)
Ok dan, geen punt komma, die had ik er tussen gezet voor de duidelijkheid.
In ieder geval, je studeert wiskunde, fysica of informatica aan de KUL, als Veys nog altijd lineaire algebra doceert, verwacht je dan maar niet aan dit soort vraagstukjes, vooral de laatste hoofdstukken zijn zeer belangrijk.
In ieder geval, je studeert wiskunde, fysica of informatica aan de KUL, als Veys nog altijd lineaire algebra doceert, verwacht je dan maar niet aan dit soort vraagstukjes, vooral de laatste hoofdstukken zijn zeer belangrijk.
-
- Berichten: 394
Re: Dim(vxw)
Idd, ik heb het al gestudeerd, nu es goed herhalen enz : )
Bedankt voor de tip.
Ik studeer wiskunde, wat studeer jij eigenlijk ?
Bedankt voor de tip.
Ik studeer wiskunde, wat studeer jij eigenlijk ?
-
- Berichten: 2.242
Re: Dim(vxw)
2e jaar fysica, ik heb het geluk gehad om vorig jaar door te komen met 10/20 op lineaire algebra .
.-
- Berichten: 394
Re: Dim(vxw)
Nu begin ik wel een beetje te vrezen.
Is den prof streng in het verbeteren ? (bij de TTT had ik de indruk van niet)
Is den prof streng in het verbeteren ? (bij de TTT had ik de indruk van niet)
-
- Berichten: 2.242
Re: Dim(vxw)
Daar heb ik geen idee van hoe streng hij verbetert, die tussentijdse toets doe ik niet aan mee. Ik weet niet eens of de prof de examens wel zelf verbetert.
Maar we zijn erg off topic aan het gaan. Als je nog vragen hebt over het examen ofzo mag je me altijd een persoonlijk bericht sturen.
Maar we zijn erg off topic aan het gaan. Als je nog vragen hebt over het examen ofzo mag je me altijd een persoonlijk bericht sturen.
-
- Berichten: 24.578
Re: Dim(vxw)
Rov schreef:Stel V heeft als basis\(\mathcal{E} = \left( \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \cdots , \mathbf{e}_n \right)\). V heeft dus dimensie n.
Stel W heeft als basis\(\mathcal{F} = \left( \mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, \cdots ,\mathbf{f}_r \right)\). W heeft dus dimensie r.
Als je toch zo graag een basis wil:\(\left( \left( \mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \cdots , \mathbf{e}_n \right), \left( \mathbf{f}_1, \mathbf{f}_2, \cdots ,\mathbf{f}_r \right) \right)\). Zoals je ziet bestaat die uit n + r vectoren.
Het "bewijs" is inderdaad nogal triviaal, maar de bezorgheid van jan_alleman over de notatie is natuurlijk niet helemaal onterecht; notatie is belangrijk in de wiskunde. De productverzameling VxW bestaat nu uit koppels (v,w) met v uit V en w uit W. Aangezien de elementen koppels zijn, moeten de basisvectoren dat natuurlijk ook zijn! Een verzameling staat tussen accolades, niet tussen ronde haakjes.Die puntkomma stoort mij nog eerijk gezegd.
Een basis van V: {e_1,e_2,...,e_n} en een basis van W: {f_1,f_2,...,f_r}, dan is een basis voor VxW:
\(\left\{ {\left( {e_1 ,0} \right), \cdots \left( {e_n ,0} \right),\left( {0,f_1 } \right), \cdots ,\left( {0,f_r } \right)} \right\}\)
Het is eenvoudig te zien dat deze onafhankelijk zijn en elke (v,w) kunnen voortbrengen.Wie graag vectorstreepjes wil, mag ze er zelf nog bijtekenen natuurlijk
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
