Springen naar inhoud

Compleet stel in oneindig dimensionale vectorruimte


  • Log in om te kunnen reageren

#1

ktesibios

    ktesibios


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 13 januari 2008 - 23:12

Hoi,

Ik ben bezig met kernreactortheorie en kwam op een eigenwaardevergelijking uit : alpha-eigenwaardevraagstuk van de vorm Tn=alpha n. T is een lineaire operator. Men zegt dat de eigenfuncties van T niet per se een compleet stel vormen. Is dit karakteristiek voor oneindig dimensionale vectorruimtes of moet er een andere reden zijn? (ik ken enkel iets van eindige ruimtes)

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 januari 2008 - 17:34

Dat is ook al het geval in eindige ruimtes. Voor een nxn-matrix (van de lineaire operator T) heb je slechts een basis voor je eigenruimte als er n lineair onafhankelijke eigenvectoren zijn, dat is niet steeds het geval. Voor reŽle, symmetrische matrices is dit bijvoorbeeld wel gegarandeerd.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#3

ktesibios

    ktesibios


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 16 januari 2008 - 00:07

De eigenwaarden vallen niet samen maar hun aantal is ook niet per se aftelbaar...

#4

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 17 januari 2008 - 20:55

Je vraag is me niet helemaal duidelijk, kan je het misschien iets meer toelichten?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#5

ktesibios

    ktesibios


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 30 januari 2008 - 22:11

Sorry dat ik dit even uit het oog was verloren, examen zat erop en het was ietwat uit mijn gedachten gegaan.
Onder deze link vind je de vorm van de integro-differentiaalvergelijking waar ik het over heb.

linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0306454903001518

Dit kan geschreven worden als een eigenwaarde vergelijking van de vorm T_a f = a * f (waarbij T een lineaire operator is). Nu zegt men dat de eigenoplossingen van dit stelsel niet per se een complete basis vormen en dat het aantal eigenwaarden niet per se aftelbaar is. Ik vroeg mij eigenlijk gewoon af waaruit wat volgt, ik ben namelijk niet thuis in oneindig-dimensionale vectorruimten. Veel meer relevante info kan ik op het eerste zicht niet meegeven, het lijkt me niet zinvol om het over de oorsprong van deze vergelijking te gaan hebben.
In elk geval bedankt voor de inspanningen die worden geleverd om hierop te antwoorden.

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 30 januari 2008 - 22:43

Dat artikel kan ik niet opvragen, het lijkt betalend.

Wat basissen in oneindigdimensionale vectorruimten betreft, herinner je eerst:

LaTeX

Het stel {e_1,...,e_n} is een basis voor een n-dimensionale vectorruimte V indien elke x uit V geschreven kan worden als lineaire combinatie van deze basisvectoren. De coŽfficiŽnten worden gegeven door het inproduct, zoals je in bovenstaande formule kan zien.

We breiden dit uit naar een oneindigdimensionale vectorruimte. We beschouwen nu geen stel van orthonormale vectoren, maar een rij: (e_1, e_2, ...), dit is een basis voor V indien elke x in V geschreven kan worden als een convergente reeks, namelijk:

LaTeX

Nu naar de lineaire operator en zijn eigenwaarden: bij verschillende eigenwaarden horen steeds lineair onafhankelijke eigenvectoren. Als je dus een rij van eigenwaarden hebt die onderling verschillen (je hebt dus een aftelbaar aantal verschillende eigenwaarden), dan heb je ook een rij orthonormale eigenvectoren, die zullen dienen als basisvectoren van je (eigen)ruimte.

Nu is het niet noodzakelijk zo dat je lineaire operator een aftelbaar aantal (verschillende) eigenwaarden heeft, hetgeen nog niet hoeft te betekenen dat er geen volledig stel eigenvectoren is dat je eigenruimte kan opspannen. Denk hierbij aan eindigdimensionale vectorruimten: je kan eigenwaarden hebben met een algebraÔsche multipliciteit a>1. Om a lineair onafhankelijke eigenvectoren te hebben bij deze eigenwaarde, moet ook de meetkundige multipliciteit m gelijk zijn aan a, waarbij in het algemeen geldt m :D a.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

ktesibios

    ktesibios


  • >25 berichten
  • 45 berichten
  • Gebruiker

Geplaatst op 11 februari 2008 - 17:42

Merci trouwens!

#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24049 berichten
  • VIP

Geplaatst op 11 februari 2008 - 20:55

Graag gedaan, succes ermee!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures