Springen naar inhoud

Waar of niet waar


  • Log in om te kunnen reageren

#1

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2008 - 21:01

WAAR of NIET WAAR, bewijs of geef een tegenvoorbeeld.

Zijn de volgende stellingen waar of niet waar? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.
(a) Stel dat V een eindigdimensionale vectorruimte is en dat A een bijectieve lineaire
transformatie van V is. Dan zijn de eigenwaarden van A^-1 gelijk aan de inversen
van de eigenwaarden van A.
(b) Als een lineaire afbeelding van R[x] naar zichzelf injectief is, dan is hij ook
surjectief.
-------------------------

Volgens mij is (a) zeker waar, heb daar zelfs een bewijs voor.

En (b) is ook waar, simpel weg omdat R[x] niet oneindigdimensionaal is (een veelterm heeft altijd graad natuurlijk getal), en gemakkelijk met equivalenties aantonen dat het idd surjectief is.

Akkoord ?

Dit forum kan gratis blijven vanwege banners als deze. Door te registeren zal de onderstaande banner overigens verdwijnen.

#2

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2008 - 21:30

(b) Als een lineaire afbeelding van R[x] naar zichzelf injectief is, dan is hij ook
surjectief.

Volgt uit de dimensie stelling: dim(nulruimte) + dim(beeld) = dim(R[x])

Het is een injectie dus dim(nulruimte) = 0. Dus dim(beeld) = dim(R[x]) en dus dat het beeld = R[x]. Hiermee is de stelling bewezen. (zie definitie van surjectie)

Akkoord dus.

Veranderd door Rov, 14 januari 2008 - 21:34


#3

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2008 - 21:46

Rov, het punt is dat je niet altijd dimensiestelling kan gebruiken eh, is R[x] eindigdimensionaal ?

#4

Rov

    Rov


  • >1k berichten
  • 2242 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2008 - 22:09

Je zegt in je eerste post zelf dat R[x] niet oneindigdimensionaal is.

#5

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2008 - 23:11

Ik zeg dat om te horen van jullie of dat wel zo is natuurljk : )

#6

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 14 januari 2008 - 23:24

En dat klopt niet, ;)[X] is natuurlijk wel oneindigdimensionaal...

Onderstel dat het eindigdimensionaal is, dan zijn er een eindig aantal veeltermen in de basis en bijgevolg is er een veelterm met een hoogste graad, ik noem deze n. Er kan dan geen enkele veelterm voortgebracht worden van graad n+1 of hoger, dus de "basis" is niet voortbrengend - geen basis dus.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#7

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 14 januari 2008 - 23:38

R[x] is verzameling van alle veeltermen maar LaTeX zit er toch niet in, want de graad is oneindig, en dus is dat geen veelterm ...

Veranderd door jan_alleman, 14 januari 2008 - 23:39


#8

TD

    TD


  • >5k berichten
  • 24052 berichten
  • VIP

Geplaatst op 15 januari 2008 - 00:14

Er zit ook geen getal "oneindig" in :D, maar dat wilt toch niet zeggen dat ;) een eindige verzameling is?

R[x] is inderdaad de verzameling van de reŽle veeltermen in x en die ruimte is oneindigdimensionaal.
Het bewijs uit het ongerijmde vind je in m'n vorige post. Of begrijp ik je nu verkeerd? Wat bedoel je?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

#9

jan_alleman

    jan_alleman


  • >250 berichten
  • 394 berichten
  • Ervaren gebruiker

Geplaatst op 15 januari 2008 - 15:37

Je legde uit wat ik bedoelde, ik twijfelde de hele tijd wat zou ik doen.

Bedankt





0 gebruiker(s) lezen dit onderwerp

0 leden, 0 bezoekers, 0 anonieme gebruikers

Ook adverteren op onze website? Lees hier meer!

Gesponsorde vacatures

Vacatures