Waar of niet waar

Moderators: dirkwb, Xilvo

Reageer
Berichten: 394

Waar of niet waar

WAAR of NIET WAAR, bewijs of geef een tegenvoorbeeld.

Zijn de volgende stellingen waar of niet waar? Bewijs of geef een tegenvoorbeeld.

(a) Stel dat V een eindigdimensionale vectorruimte is en dat A een bijectieve lineaire

transformatie van V is. Dan zijn de eigenwaarden van A^-1 gelijk aan de inversen

van de eigenwaarden van A.

(b) Als een lineaire afbeelding van R[x] naar zichzelf injectief is, dan is hij ook

surjectief.

-------------------------

Volgens mij is (a) zeker waar, heb daar zelfs een bewijs voor.

En (b) is ook waar, simpel weg omdat R[x] niet oneindigdimensionaal is (een veelterm heeft altijd graad natuurlijk getal), en gemakkelijk met equivalenties aantonen dat het idd surjectief is.

Akkoord ?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Waar of niet waar

jan_alleman schreef:(b) Als een lineaire afbeelding van R[x] naar zichzelf injectief is, dan is hij ook

surjectief.
Volgt uit de dimensie stelling: dim(nulruimte) + dim(beeld) = dim(R[x])

Het is een injectie dus dim(nulruimte) = 0. Dus dim(beeld) = dim(R[x]) en dus dat het beeld = R[x]. Hiermee is de stelling bewezen. (zie definitie van surjectie)

Akkoord dus.

Berichten: 394

Re: Waar of niet waar

Rov, het punt is dat je niet altijd dimensiestelling kan gebruiken eh, is R[x] eindigdimensionaal ?

Gebruikersavatar
Berichten: 2.242

Re: Waar of niet waar

Je zegt in je eerste post zelf dat R[x] niet oneindigdimensionaal is.

Berichten: 394

Re: Waar of niet waar

Ik zeg dat om te horen van jullie of dat wel zo is natuurljk : )

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Waar of niet waar

En dat klopt niet, ;) [X] is natuurlijk wel oneindigdimensionaal...

Onderstel dat het eindigdimensionaal is, dan zijn er een eindig aantal veeltermen in de basis en bijgevolg is er een veelterm met een hoogste graad, ik noem deze n. Er kan dan geen enkele veelterm voortgebracht worden van graad n+1 of hoger, dus de "basis" is niet voortbrengend - geen basis dus.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 394

Re: Waar of niet waar

R[x] is verzameling van alle veeltermen maar
\(\sum_{i=1}^{\infty}x^{i}\)
zit er toch niet in, want de graad is oneindig, en dus is dat geen veelterm ...

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Waar of niet waar

Er zit ook geen getal "oneindig" in :D , maar dat wilt toch niet zeggen dat ;) een eindige verzameling is?

R[x] is inderdaad de verzameling van de reële veeltermen in x en die ruimte is oneindigdimensionaal.

Het bewijs uit het ongerijmde vind je in m'n vorige post. Of begrijp ik je nu verkeerd? Wat bedoel je?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 394

Re: Waar of niet waar

Je legde uit wat ik bedoelde, ik twijfelde de hele tijd wat zou ik doen.

Bedankt

Reageer