Groepen

Scofield

Ik heb enkele vraagje ivm groepen:

1)De volgende stelling is me niet geheel duidelijk:

-Elke cyclische groep (V,o) met oneindige orde is isomorf met (Z,+).

-Elke cyclische groep (V,o) met eindige orde m is isomorf met (Z_m,+).

2)S_n is de verzameling van alle permutaties in {1,2,3,...,n}. Deze verzameling zou dan de zogenaamde symmetrisch groep vormen op n symbolen. Iemand enig idee wat hiermee bedoelt wordt?

3) Stel dat een permutatie kan geschreven worden als een samenstelling van t verwisselingen en eveneens als een samenstelling van t' verwisselingen. Dan zijn ofwel t en t' beide even, ofwel beide oneven. Waarom is dit zo?

zijtjeszotjes

Scofield schreef:Ik heb enkele vraagje ivm groepen:

1)De volgende stelling is me niet geheel duidelijk:

-Elke cyclische groep (V,o) met oneindige orde is isomorf met (Z,+).

-Elke cyclische groep (V,o) met eindige orde m is isomorf met (Z_m,+).

2)S_n is de verzameling van alle permutaties in {1,2,3,...,n}. Deze verzameling zou dan de zogenaamde symmetrisch groep vormen op n symbolen. Iemand enig idee wat hiermee bedoelt wordt?

3) Stel dat een permutatie kan geschreven worden als een samenstelling van t verwisselingen en eveneens als een samenstelling van t' verwisselingen. Dan zijn ofwel t en t' beide even, ofwel beide oneven. Waarom is dit zo?

een cyclische groep wordt voortgebracht door één element, zegmaar a,

dan geldt (V,o)=(a) . de elementen zijn dan van de vorm a^k met k een element uit Z.

Probeer nou een homomorfisme te maken van jouw groep (V,o) naar Z. Naar welk element uit Z gaat een element uit V?

daarna moet je ff controleren: surjectie en injectie en sowieso dat je afbeelding wel een homomorfisme is.

bijv: een permutatie die als element in S_n zit is (12345), deze permuteert de getallen 1,2,3,4 en 5 en laat de getallen 6 t/m n gewoon op hun plek.

Kijk naar een regelmatige zes hoek, noem de hoekpunten 1 t/m 6. Een draaiing over een hoek van 60 graden komt overeen met de permutatie (123456). Als je roteert over een hoek van 120 graden, wat voor permutatie krijg je?

de 3e snap ik ff niet, maar waar het op neer komt denk ik, is dat de bedoelde permutatie even is, dus heeft teken 1,

1 krijg je door 1*1 of -1*-1 (samenstelling van twee even permutaties of samenstelling van 2 oneven permutaties)

TD

3) Stel dat een permutatie kan geschreven worden als een samenstelling van t verwisselingen en eveneens als een samenstelling van t' verwisselingen. Dan zijn ofwel t en t' beide even, ofwel beide oneven. Waarom is dit zo?

zijtjeszotjes schreef:de 3e snap ik ff niet, maar waar het op neer komt denk ik, is dat de bedoelde permutatie even is, dus heeft teken 1,

1 krijg je door 1*1 of -1*-1 (samenstelling van twee even permutaties of samenstelling van 2 oneven permutaties)

Dat heeft inderdaad te maken met het teken (de pariteit) en opdat die goed gedefinieerd zou zijn, moet deze eigenschap gelden. Je kan het dan ook bewijzen, maar zoiets staat wellicht in je cursus? Anders kan je het bewijs ergens anders opzoeken.

zijtjeszotjes

misschien ook dit:

als je t verwisselingen nodig hebt om de permutatie één keer toe te passen, dan heb je 2t verwisselingen

om de permutatie twee keer toe te passsen. Je hebt aan de kant ook t+t' keer verwisselingen nodig om de permutatie toe te passen. 2t is even, dus t+t' is ook even. maar dan zijn t en t' even of ze zijn allebei oneven.

Wetenschapsforum

Laatste berichten

Nieuwsberichten

Groepen

Groepen

Re: Groepen

Re: Groepen

Re: Groepen