\(|b_{n}|\)
convergent is, of dan ook reeks \(|b_{n}|^{2}\)
convergent is.Ik dacht van wel, als je met ongelijkheid van Cauchy-Schwarz werkt, zie je dat de 2de reeks naar bovenbegrensd is etc.
Laatste berichten
-
08:24
Schroefdraad berekening 7
-
00:15
[scheikunde] Kan chloorgas de geleiding van elektriciteit belemmeren? 9
-
22:27
positie 1
-
21:15
Weerfrustratie 9
-
18:08
geen minkowski-ruimte toch? Doe ik dit nou fout? 15
-
14:16
do-re-mi-fa-so vliegtuigen 7
-
14:16
Kunnen quantum Zonnecellen 190% quantum efficiënt zijn 3
-
13:57
De Euro Nederlandse 100 qubit computer komt eraan
-
10:42
projectiel 8
-
10:37
Verschil tussen deze 2 vragen 5
-
09:25
[scheikunde] berekeningen labo vitamine c bepaling 1
-
22 apr
[wiskunde] rode en witte ballen verdelen 8
-
22 apr
Rotatie van het heelal 41
-
22 apr
Muntje opgooien 14
-
21 apr
Reactiviteit silyl enol ethers 1
-
21 apr
Criterium voor vochtretentie
-
21 apr
speciale rel. theorie 5
-
21 apr
Vogels in de stad zijn goede klussers
-
21 apr
Ervaringen met "herontdekkingen" 15
-
20 apr
Herleiden afmetingen vanaf een foto 19
Nieuwsberichten
-
04 mar
Een nieuw soort magnetisme: altermagnetisme
-
31 okt
AI kan via stem diabetes vaststellen 11
-
21 okt
Einstein krijgt wéér gelijk 45
-
07 feb
witter dan wit 20
-
19 jun
irrigatie en de aardas
|b_n| is convergent
-
- Berichten: 394
|b_n| is convergent
Ik vroeg me af als een reeks
Ik dacht van wel, als je met ongelijkheid van Cauchy-Schwarz werkt, zie je dat de 2de reeks naar bovenbegrensd is etc.
Ik dacht van wel, als je met ongelijkheid van Cauchy-Schwarz werkt, zie je dat de 2de reeks naar bovenbegrensd is etc.
-
- Berichten: 24.578
Re: |b_n| is convergent
Ik denk het ook. Je kan je uitwerking eens laten zien als je wil.jan_alleman schreef:Ik vroeg me af als een reeks\(|b_{n}|\)convergent is, of dan ook reeks\(|b_{n}|^{2}\)convergent is.
Ik dacht van wel
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 394
Re: |b_n| is convergent
ok
Bij elke term moet dus een absolute waarde teken staan ...
We hebben dus (b1+...+bn)(b1+...+bn) >= (b1²+....+bn²)
Limiet nemen en dan zegt deze ongelijkheid dat het rechtergedeelte naar bovenbegrensd is, omdat som(|bn|²) stijgend is (immers elke element van de rij is positief), geldt vanwege een stelling dat het convergent is.
Is dit goed : )
zoja, volgens mij is dit niet de gezochte manier ...
ps: kunt u zeggen wat de som is van 1 - 1/2 + 1/3 + .... , of hoe ge eraan komt aub
Bij elke term moet dus een absolute waarde teken staan ...
We hebben dus (b1+...+bn)(b1+...+bn) >= (b1²+....+bn²)
Limiet nemen en dan zegt deze ongelijkheid dat het rechtergedeelte naar bovenbegrensd is, omdat som(|bn|²) stijgend is (immers elke element van de rij is positief), geldt vanwege een stelling dat het convergent is.
Is dit goed : )
zoja, volgens mij is dit niet de gezochte manier ...
ps: kunt u zeggen wat de som is van 1 - 1/2 + 1/3 + .... , of hoe ge eraan komt aub
-
- Berichten: 24.578
Re: |b_n| is convergent
Voor positieve termen lijkt me dit in orde.
Maar je denkt dat een andere manier bedoeld is; wat is dan de precies opgave?
Je kan dit inzien door de reeks van ln(1+x) te evalueren in x = 1:
Maar je denkt dat een andere manier bedoeld is; wat is dan de precies opgave?
Deze reeks convergeert naar ln(2).ps: kunt u zeggen wat de som is van 1 - 1/2 + 1/3 + .... , of hoe ge eraan komt aub
Je kan dit inzien door de reeks van ln(1+x) te evalueren in x = 1:
\(\ln \left( {1 + x} \right) = x - \frac{{x^2 }}{2} + \frac{{x^3 }}{3} - \frac{{x^4 }}{4} + \cdots \)
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 150
Re: |b_n| is convergent
Je hebt toch altijd als de ene rij x_n naar x convergeert en de andere rij y_n convergeert naar y dat dan x_n*y_n naar xy convergeert?
Neem dan gewoon zowel x_n als y_n gelijk aan b_n en je bent volgens mij klaar.
Neem dan gewoon zowel x_n als y_n gelijk aan b_n en je bent volgens mij klaar.
-
- Berichten: 394
Re: |b_n| is convergent
The Black Mathematician schreef:Je hebt toch altijd als de ene rij x_n naar x convergeert en de andere rij y_n convergeert naar y dat dan x_n*y_n naar xy convergeert?
Neem dan gewoon zowel x_n als y_n gelijk aan b_n en je bent volgens mij klaar.
Als je dat had geantwoord had je maximaal een 0 op die vraag, want het gaat over reeksen.
-
- Berichten: 24.578
Re: |b_n| is convergent
Er is een stelling (Cauchy) die zegt dat als (een van) twee reeksen absoluut convergent is/zijn, dat dan de productreeks ook convergent is (en convergeert naar het product van beide reeksen).
Ik moet hierbij wel opmerking dat de productreeks van de reeksen met algemene termen a_i en b_i, niet gewoon bestaat uit de termen a_i*b_i, er zijn ook nog mengtermen. Voor positieve reeksen leveren die echter een positieve bijdrage, zodat weglating ervan de convergentie niet in het gedrang brengt.
Ik moet hierbij wel opmerking dat de productreeks van de reeksen met algemene termen a_i en b_i, niet gewoon bestaat uit de termen a_i*b_i, er zijn ook nog mengtermen. Voor positieve reeksen leveren die echter een positieve bijdrage, zodat weglating ervan de convergentie niet in het gedrang brengt.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 150
Re: |b_n| is convergent
Maar wacht eens even: een reeks is toch ook een rij? Namelijk een rij van partiële sommen. In dat geval gaat mijn oorspronkelijk argument wel op.Als je dat had geantwoord had je maximaal een 0 op die vraag, want het gaat over reeksen.
-
- Berichten: 24.578
Re: |b_n| is convergent
Een reeks is geen rij, maar de limiet van een rij!
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
-
- Berichten: 150
Re: |b_n| is convergent
Ja inderdaad, beetje slordig van me. Maar anyway. Laat
Laat
\(|b_n|\)
de reeks zijn, convergent, dus met som \(b=\sum_{n}^{\infty}|b_n|\)
. Laat
\(a_n=\sum_{i}^n |b_i|\)
, dan heb je een rij \(a_n\)
met als limiet het getal b. Pas dan het argument toe dat als \(x_n, y_n\)
twee rijen zijn met limiet x resp. y, dan heeft \(x_n y_n\)
limiet xy. Neem nu \(x_n=y_n=a_n\)
.Re: |b_n| is convergent
Pardon?Een reeks is geen rij, maar de limiet van een rij!
Een reeks is een rij partiële sommen. B.v.
\(\Sigma z^n\)
is een machtreeks, d.w.z. een rij partiële sommen \(1, 1+z, 1+z+z^2, \cdots\)
Deze machtreeks heeft een limiet voor \(|z|<1\)
, n.l. \(\sum_{n=0}^{\infty}z^n = \frac{1}{1-z}\)
-
- Berichten: 24.578
Re: |b_n| is convergent
Blijkbaar hanteren wij andere definities, of gebruiken we de terminilogie wat anders. Wat jij een reeks noemt, noem ik gewoon een rij van partiële sommen. Waar ik reeks tegen zeg, zeg jij de limiet van die rij (indien de rij convergeert); of zit het misschien nog anders?PeterPan schreef:Pardon?
Een reeks is een rij partiële sommen.
\(\sum\limits_{i = 1}^{ + \infty } {u_i } = \mathop {\lim }\limits_{i \to + \infty } s_i \)
Volgens de definitie die ik hanteer: de reeks (links) is de limiet van de rij der partieelsommen (rechts), als de rij convergeert."Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)
Re: |b_n| is convergent
Zo zie je dat niet iedereen voor de zelfde begrippen dezelfde definities hanteren.
De manier waarop ik (en de mijnen) het begrip reeks hanteren is wat zuiverder.
Als je zegt dat de reeks
dan zeg je in feite dat iets dat niet gedefinieerd is een of andere eigenschap heeft. Dat is niet zuiver op de graad.
Bovendien is het maar de vraag of
Daarom zeg ik (en de mijnen):
De reeks
De manier waarop ik (en de mijnen) het begrip reeks hanteren is wat zuiverder.
Als je zegt dat de reeks
\(1+(-1)+1+(-1)+\cdots\)
niet convergeert,dan zeg je in feite dat iets dat niet gedefinieerd is een of andere eigenschap heeft. Dat is niet zuiver op de graad.
Bovendien is het maar de vraag of
\(1+(-1)+1+(-1)+\cdots\)
iets zinnigs is, want het is niet te zien, wat de termen zijn vanaf de vijfde term. Dat moet je maar gokken (suggestief).Daarom zeg ik (en de mijnen):
De reeks
\(\Sigma (-1)^n\)
convergeert niet (bedoeld is de rij van partiële sommen).Re: |b_n| is convergent
Op Wikipedia (ook de Engelse) staat de volgende onzin:
Rij
Met andere woorden, als
Nou, volgens mij is dat met kans 1 niet een reeks maar een hoop onzin.
Even later hebben ze het over convergente reeksen en divergente reeksen.
Als een reeks een getal is, wat is dan een convergent getal?
Ik ken alleen convergente rijen. Blijkbaar moet een reeks een rij zijn, en dat is ook volstrekt logisch, want rij en reeks zijn taalkundig vrijwel synoniem, en waarom zou dat wiskundig niet zo zijn. Die termen zijn logisch gekozen.
Kortom:
Rij
\(a_1,a_2,\cdots\)
dan is daaruit af te leiden de reeks s die gevormd wordt door de 'sommatie' van de termen van de rij enz.Met andere woorden, als
\(a_1,a_2,\cdots\)
een rij random gegenereerde reële getallen zijn, dan zou\(a_1+a_2+\cdots\)
een reeks zijn.Nou, volgens mij is dat met kans 1 niet een reeks maar een hoop onzin.
Even later hebben ze het over convergente reeksen en divergente reeksen.
Als een reeks een getal is, wat is dan een convergent getal?
Ik ken alleen convergente rijen. Blijkbaar moet een reeks een rij zijn, en dat is ook volstrekt logisch, want rij en reeks zijn taalkundig vrijwel synoniem, en waarom zou dat wiskundig niet zo zijn. Die termen zijn logisch gekozen.
Kortom:
\(\Sigma \frac{1}{n}\)
is een divergente reeks (de harmonische reeks), dwz de rij van de partiële sommen convergeert niet.\(\Sigma \frac{1}{n^2}\)
is een convergente reeks. De reeks convergeert naar \(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)
