Min en max

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Reageer
Berichten: 394

Min en max

Beschouw de volgende functie van drie veranderlijken:
\(f(x,y,z)=x²-2x+y²-4y+z²-4z\)
Bepaal het minimum en maximum van f op het gebied gegeven door
\(x²+y²+z²\leq 36\)
.

Als er nu stond =36 weet ik direkt wat k moet doen (met lagrangetechniek etc), maar hoe pak zo'n 'vreemde' voorwaarde aan ?

Berichten: 7.068

Re: Min en max

Vreemde voorwaarde... bekijk de voorwaarde eens met x=0 (en daarna y=0, en daarna z=0). Vind je het nog steeds een vreemde voorwaarde? Helpt het als je de voorwaarde ook bekijkt voor x = 6, 5, 4, 3, enz.?

Berichten: 394

Re: Min en max

Ik weet gwn niet wat te doen :s, op zicht zou ik wel de minimum enz kunnen geven, maar met gradienten werken ...
\(f(x,y,z)=(x-1)²+(y-2)²+(z-2)²-9\)
, bijgevolg is min=(1,2,2) en max=(6,0,0) als ik me niet vergis.

Berichten: 7.068

Re: Min en max

\(f(x,y,z)=(x-1)²+(y-2)²+(z-2)²-9\)
, bijgevolg is min=(1,2,2) en max=(6,0,0) als ik me niet vergis.
Dat minimum klopt wel, maar dat maximum niet. Bekijk bijvoorbeeld (-6,0,0) eens...

Berichten: 394

Re: Min en max

Ja ik had er 6 seconde over nagedacht ofzo, dat is de point niet.

Maar bedankt voor het verbeteren, kunt ge ook zeggen hoe men zo'n vraag oplost ?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: Min en max

Wat denken jullie van het punt (-2,-4,-4)?

Ik merk op dat min en max functiewaarden zijn en geen ptn.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Min en max

Je bent in de war door de ongelijkheid, maar dat is eenvoudig op te lossen.

Bepaal eerst de extrema zonder randvoorwaarden, controleer of deze binnen de sfeer liggen.

Op die manier zou je hiervoor een minimum moeten vinden, namelijk f(1,2,2) = -9.

Vervolgens kan je de extrema op de rand bepalen via gebonden extrema (Lagrange bvb).

Op de rand vind je dan een maximum (zie Safe, f(-2,-4,-4) = 72) en ook een minimum.

Maar dit minimum (namelijk f(2,4,4) = 0) is niet kleiner dan het eerder gevonden minimum.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Berichten: 394

Re: Min en max

Ik snap het. Eindelijk een verhelderend antwoord. : )

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Min en max

Graag gedaan. Uit de opgave zou je trouwens moeten kunnen afleiden dat je sowieso een minimum en een maximum moet vinden. Als je de voorwaarde beschouwt als domein waarvoor je de functie bekijkt, dan beschouw je een continue functie op een compact domein (en dan worden minimum en maximum steeds bereikt).
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer