[Wiskunde] Volume van soort ellipsvormige afgeknotte kegel

Moderators: ArcherBarry, Fuzzwood

Berichten: 60

[Wiskunde] Volume van soort ellipsvormige afgeknotte kegel

Dit is een vraagstukje waar ik wat moeite mee heb ..

gegeven: een afgeknotte kegel

hoogte 5cm

grondvlak ellipsvormig met oppervlakte 400cm²

bovenvlak ellipsvormig met oppervlakte 200cm²

(->beide ellipsen hebben dezelfde vorm)


De vraag luidt: wat is de inhoud van deze figuur ?

heb wat geprobeert met:

1/3 PI² h (r²+R²+r R)

maar het zijn ellipsen en en de stralen(?) zijn niet bekend ..

wat geprutst met

1/3 * 200 * 5 PI + 1/3 * 400 * 5 PI + 1/3 r R 5 PI²

Maar hoe kom ik dan aan die R en r ?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [Wiskunde] Volume van soort ellipsvormige afgeknotte kegel

Opp ellips pi*a*b waarin a en b lengtes van de halve assen zijn. De opp verhouden zich 2:1, dus de lengtes als sqrt(2):1.

Berichten: 1.007

Re: [Wiskunde] Volume van soort ellipsvormige afgeknotte kegel

Die heb je niet nodig. Al was het een buitengewoon exotische vorm. Je kent de oppervlakte van elke doorsnede als functie van de hoogte, want je kent oppervlakte aan begin en eind. Stel je plaatst een as loodrecht op de twee vlakken van de afgeknotte kegel en je noemt die as x, dan geldt:
\(V=\int A(x)dx\)
met A(x)=de oppervlakte van een doorsnede van de kegel als functie van de hoogtepositie x

V=volume kegel

Tussen x=0 en x=5cm gaan de stralen (of hoe noem je dat, ik bedoel dus a en b in de vergelijking van de ellips
\(\left( \frac{x}{a} \right)^2+\left( \frac{y}{b} \right) ^2 =1\)
) van de dwarsdoorsnede lineair met de hoogte, dus de oppervlakte van de dwarsdoorsnede (=constante*ab) gaat kwadratisch met de hoogte. Nu kun je als het goed is A(x) opstellen en de integraal uitrekenen.

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [Wiskunde] Volume van soort ellipsvormige afgeknotte kegel

@Sjakko. Die integraal heb je niet nodig.

@Xirtrips

De verhouding van de lengtes wel.

Verder kan je werken met de standaardformule Inhoud=1/3Gh, G opp grondvlak h hoogte (elliptische) kegel.

Beschouw de inhoud van de afgeknotte kegel als het verschil van de inhouden van twee kegels met de gegeven opp van het grondvlak.

Berichten: 60

Re: [Wiskunde] Volume van soort ellipsvormige afgeknotte kegel

na wat prutsen met die integraal kwam ik tot

(integraal:0->5) A/2.dx

=x.A/2 - x.dA/2

=2000 - 500

=1500cm³

wat dus overeenkomt met

h.(bovenste opp + onderste opp)/2

maar de integraalmethode is dan meer algemeen toepasbaar ofzo ?

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [Wiskunde] Volume van soort ellipsvormige afgeknotte kegel

Hoe heb je A uitgedrukt in x? Loopt x tussen 0 en 5?

Misschien is het beter als je je uitwerking opschrijft.

Berichten: 60

Re: [Wiskunde] Volume van soort ellipsvormige afgeknotte kegel

A/2 ->x = 5

A ->x = 0

(integraal:0->5) A/2.dx

=x.A/2 - x.dA/2

=5.400/2 - 5.(400-200)/2

=2000 - 500

=1500cm³

Berichten: 60

Re: [Wiskunde] Volume van soort ellipsvormige afgeknotte kegel

Xirtrips schreef:A/2 ->x = 5

A ->x = 0

(integraal:0->5) A/2.dx

=x.A/2 - x.dA/2

=5.400/2 - 5.(400-200)/2

=2000 - 500

=1500cm³
moet dus worden

A/2 ->x = 5

A ->x = 0

(integraal:0->5) A/2.dx

=x.A/2 - x.dA/2

1)=5.400/2 - 5.(400-200)/2

=1000 - 500

=500cm³

2)=5.400/2 - 0.(400-200)/2

=1000 - 0

=1000cm³

weet niet meer exact hoe het moet eigenlijk :/

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [Wiskunde] Volume van soort ellipsvormige afgeknotte kegel

Bereken de gevraagde inhoud eens voor een 'gewone' kegel (grondvlak cirkel), met dezelfde gegevens.

Berichten: 60

Re: [Wiskunde] Volume van soort ellipsvormige afgeknotte kegel

V = A.h/3

=400 .5/3

~666

zo kom ik tot dezelfde oplossing (maar denk niet dat het een goede techniek is om de integraal te achterhalen ..)

(integraal:0->5) A/3.dx

=x.A/3 - x.dA/3

=5.400/3 - 5.(400-400)/3

~666 - 0

=666

Gebruikersavatar
Pluimdrager
Berichten: 10.058

Re: [Wiskunde] Volume van soort ellipsvormige afgeknotte kegel

Xirtrips schreef:V = A.h/3

=400 .5/3

~666

zo kom ik tot dezelfde oplossing (maar denk niet dat het een goede techniek is om de integraal te achterhalen ..)

(integraal:0->5) A/3.dx

=x.A/3 - x.dA/3

=5.400/3 - 5.(400-400)/3

~666 - 0

=666
Hier lijk je de inhoud van een cylinder, met hoogte h/3 en opp 400, te bepalen?

Bij een kegel is de opp A afhankelijk van de hoogte h, immers A is opp grondvlak bij h=0 en A=0 bij h=hoogte kegel.

Dus
\(\int Adx\)
is een functie van x.

Deze regels:

=x.A/3 - x.dA/3

=5.400/3 - 5.(400-400)/3

begrijp ik niet.

Berichten: 4.502

Re: [Wiskunde] Volume van soort ellipsvormige afgeknotte kegel

Gemiddelde oppervlakte van de doorsnede is 300 cm2 * 5 cm = 1500 cm3

Ik ontdekte later Xirtrips' antwoord,dat gecompl.werd gevonden,maar hetzelfde resultaat gaf!

Berichten: 1.007

Re: [Wiskunde] Volume van soort ellipsvormige afgeknotte kegel

Gemiddelde oppervlakte van de doorsnede is 300 cm2
Dat is toch niet zo? Breedte verloopt lineair dus gemiddelde breedte=(beginbreedte+eindbreedte)/2 maar de oppervlakte verloopt kwadratisch dus dan ligt de gemiddelde oppervlakte als het goed is uit het midden.

Berichten: 4.502

Re: [Wiskunde] Volume van soort ellipsvormige afgeknotte kegel

Bekijk alleen maar eens een ellips met een oppervlakte van 200 cm2 en je maakt daar een ell.staaf van met een hoogte van 5 cm,dan heb je al 1000 cm3!

Maak je van de rest opp. een kegel met een grondvlak van de resterende 200 cm2 dan wordt daar de inhoud van

200 * 5/3 = 333,33 cm3

Het totaal zou dan uitkomen op 1333,33 cm3,maar die kegel krijgt een grotere hoogte dan de nu aangenomen hoogte van 5 cm,wegens de holle ruimte die door het weghalen van de binnen ellipsvormige staaf ontstaat.

Dus ik houd mijn berekende 1500 cm3 voorlopig maar vast totdat ik het exacte tegenbewijs lees!

Berichten: 1.007

Re: [Wiskunde] Volume van soort ellipsvormige afgeknotte kegel

Ik kom op een volume van 5000/3≈1666,67cm³.
\(A(x)=a+bx²\)
\(A(x=0)=400\)
\(A(x=5)=200\)
dus a=400 en b=-8 dus
\(A(x)=400-8x²\)
\(V=\int_{0}^{5}A(x)dx\)
\(=\int_{0}^{5}(400-8x²)dx=\frac{5000}{3}cm³\)
Volgens deze berekening ligt de gemiddelde doorsnedeoppervlakte dan op 1000/3≈333,33cm².

Reageer