Limiet

Moderators: dirkwb, Xilvo

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Limiet

Zoek:
\(\lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{n}=\)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

Die limiet is 1. Zoek je een manier om dat aan te tonen?
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Limiet

Ik heb die limiet nodig in een andere oefening. Ik verwacht 1 maar vind geen bewijs.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

Gebruik bijvoorbeeld het gekende trucje van x = exp(ln(x)) en ln(a^b) = b.ln(a), dan eventueel l'Hôpital.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Limiet

Ik snap niet dat ik daar niet aan gedacht heb.

Als
\(\ln{y}=\frac{1}{n}\ln{n}\)
dan de l'hopital geeft voor de limiet van ln(y) 0 dus gevraagde limiet 1.

Dank voor de depannage.
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

Zo klopt het inderdaad! Graag gedaan.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 3.330

Re: Limiet

Zoek:
\(\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\)
Volgens mijn verstand kan er niets bestaan en toch bestaat dit alles?

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

Ideetje: breng de noemer binnen de wortel als n^n, gebruik dan het trucje van hiervoor.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Limiet

waarom niet l'hôpital?
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

In de eerste plaats omdat n! alleen gedefinieerd is voor natuurlijke n, de afgeleide bestaat niet.

Je zou de continue variant kunnen beschouwen, maar de afgeleide van de gammafunctie is niet echt prettig om mee te werken.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Limiet

Ah, juist ja. Ik zou zelfs die afgeleide moeten gaan opzoeken :D
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

Eenvoudig wordt het niet, je kan hier wat lezen over de polygammafunctie.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Limiet

Laat maar :D zoveel tijd heb ik ook weer niet :D
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 6.905

Re: Limiet

\(\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}\)
We weten dat
\(n! \approx \sqrt{2\pi n}\, \frac{n^n}{e^n}\)
(Stirlings)

dus is
\(\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt[n]{n!}}{n} = \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt[n]{\sqrt{2\pi n}\, \frac{n^n}{e^n}}}{n} = \lim_{n\rightarrow+\infty}\sqrt[n]{ \frac{\sqrt{2\pi n}}{e^n}}= \cdots = \frac{1}{e} \)
Het vel van de beer kunnen verkopen vraagt moeite tenzij deze dood voor je neervalt. Die kans is echter klein dus moeten we zelf moeite doen.

Gebruikersavatar
Berichten: 24.578

Re: Limiet

Ik vond hetzelfde, ook met Stirling (alleen gebruikte ik de variant ln(n!) ≈ nln(n)-n.
"Malgré moi, l'infini me tourmente." (Alfred de Musset)

Reageer